廣義相對論基礎的直觀理解 1

05-23

廣義相對論基礎的直觀理解 1

來自專欄物理教學方法

初學者往往認為廣義相對論學習過程中最大的攔路虎是陌生的張量計算，但實際上更大的問題在於對廣義相對論的直觀幾何理解的缺失。無論如何，數學這一關必須要走。事實上初學者最大的困惑在於數學的抽象，以至於不得不接受一些已有的定義。對數學定義和物理意義的理解並不深刻。下面就我教學過程和自己的學習過程中的一些理解作些簡介，為各種概念的引入和擴展提供一些更直觀的理解。

為什麼要介紹流形的概念？廣義相對論是關於時空及其上的物理規律的一門學科，時空本身是事件的集合，而我們通常相信時空不僅是連續的，而且是光滑的。集合的連續性需要引入拓撲空間的概念，而定義了光滑性的集合則是流形。
為什麼要討論流形上的張量場？這個問題的回答有兩層：

首先，引入流形概念之後我們並沒有任何關於度量的信息，也即是說，給定流形上的一條線，我們無法談及它的長度。但我們如何在彎曲的空間上定義度量呢？我們可以對比三維空間中的曲面的概念。如果我們只關注三維空間中的區面的一個極小的區域，那麼這個區域會非常接近於平面。設想站在地球上的我們觀察到的四周的地面是平坦的。在平面上我們知道一條線的長度滿足 $dl^2 = dx^2 + dy^2$ ，即勾股定理。如果我們選用另外一組體系 $ilde x, ilde y$ ，則有 $dl^2 = g_{mu u}d ilde x^mu d ilde x^ u$ ，因此，在指定一個曲面上的線長，我們實際可以用兩種方案，一種是找到局域的正交坐標系 $x,y$ ，另一種是更一般形式的 $({ ilde x, ilde y},g_{mu u})$ 。這實際說明，流形上的度量可以由一個 $(0,2)$ 型的張量 $g_{mu u}$ 來表述。
第二，物理規律的協變性。這實際上是隱藏的理論本身的對稱性。高中階段就學過牛頓力學不依賴於任何慣性系。這一普適性是愛因斯坦發現廣義相對論的最根深的動機。假設物理規律不依賴於任何參考系（先簡單地把參考系等同於坐標系），一種最經濟的方式要求物理規律全部寫成張量表達式。張量是一種不依賴於坐標系的線性映射，它的分量在坐標變換下的表達式可以通過一個線性談的來完成。如果一個物理學的規律寫成張量表達式，那麼等式的兩邊在任意坐標變換下均遵循同樣的線性變換，換言之，線性變換前後的規律的表達式是一樣的。這即是物理物理的協變性的數學表述。

廣義相對論將引力表達成彎曲時空的一種體現。那麼如何理解空間的彎曲與否呢？我們仍以二維曲面與平面對比來理解。在平面上的矢量的平移的概念大學物理中早有涉及。具體來說，在歐氏坐標系下，矢量的平移是將矢量在坐標系下的分量完全複製到另一點處。如果給定 $p,q$ 兩點，如果可以找到兩條不同的線將它們聯結起來，那麼矢量沿著這兩條線的平移結果是重合的。但是在曲面上情況就變得微妙了。我們以地球的表面為例。假如你站在赤道上向北極看，你的目光射出的矢量的方向是垂直於赤道的。如果此時沿著某一條經線平移到北極點，那麼會發現矢量的方向是沿著經線繞成的最大圓圈的那個方向。如果此時先沿著赤道走一段，然後再沿著經線走到北極，會發現此時的矢量和剛剛直接沿經線走到北極的不一致。這就是說在曲面上同樣的矢量沿不同路徑平移到同一點時可以不重合。這是平直空間和彎曲空間最本質的區別。
有了平移的概念之後，自然可以定義導數。事實上，有了導數的概念之後也自然可以定義平移。

平移到導數的概念：如果我們知道了如何平移，那麼就可以得到沿某一曲線方向將矢量平移，由此可以定義矢量場的導數的概念。同樣，可以相應地定義張量的導數的概念。
如果有了導數的概念，如何定義平移呢？導數的最核心的定義其實是將不同的點的信息聯繫起來，這也是為何導數也被稱為聯絡。如果有了導數的概念之後，我們可以沿某一曲線方向得到沿該方向的導數的概念。有了這個概念之後，事實上，如果沿著某個方向的平移，說明沿該方向的導數為零。也就有了平移的概念。
以上只是比較寬泛地討論了平移的概念，需要注意的是，平移並不需要度量的信息。

事實上，我們空間中的幾何已經告訴我們如何求導和平移了。設想我們處在一個彎曲的空間當中，在小範圍內，該區域可以被近似為平直。而平直空間中的平移概念我們是知道的，彎曲空間中的平移事實就是在每個近似平直的局域的平移構成的。而前面提到，平移自然可以構建出求導的概念。事實上，彎曲空間的幾何信息已經給出一個自然的導數的定義。在平直空間中，我們早已有算符 $vec abla$ ，這也是大學物理中經常接觸到的一個導數算符。而彎曲空間中的導數算符 $abla_a$ 在每個小局域看上去就是那個小平直空間中的 $vec abla$ ！彎曲的幾何非常直觀，原因是你的目光只要放的足夠小，它就是平直空間的幾何。而整體的彎曲時空就是這樣一個個小的平直空間拼接起來的結構。從數學的定義來講， $abla_a$ 就是與度規適配的導數算符 $( abla_a g_{bc} =0)$ 。
前面提到，彎曲空間與平直空間的重要區別在於矢量的平移問題。那麼有沒有一個量可以用來度量空間的彎曲程度呢？這個問題其實也非常直觀。在三維空間中我們知道如果一個球的半徑越小，那麼它彎曲的程度就越高，度量彎曲程度的就是它的曲率半徑。越是彎曲的厲害的空間，沿曲線平移之後的差別越大。比如，矢量 $v$ 從點 $p$ 沿曲線 $C_1$ 平移到點 $q$ 之後的結果是 $v_1$ ，而沿曲線 $C_2$ 平移到 $q$ 點之後的結果為 $v_2$ ，那麼我們可以用 $Delta v equiv frac{v_2 - v_1}{|v|}$ 來度量空間的彎曲的程度。當曲線取的極小的時候，這個結果可以收縮到一個點上的張量，稱為黎曼曲率張量。這個張量就是彎曲程度的度量！