Black Litterman模型

BL模型的詳細解釋

建立在Markowitz模型基礎上，克服Markowitz模型不直觀、高度集中、參數敏感等缺點。B-L模型使用貝葉斯方法，將投資者對於一個或多個資產的預期收益的主觀觀點與先驗分布下預期收益的市場均衡向量相結合，形成關於預期收益的新的估計。這個基於後驗分布的新的收益向量，可以看成是投資者觀點和市場均衡收益的加權平均。

1. Markowitz模型回顧：

假設有n個資產，在資產組合中的權重為 ，收益率為 ，方差為

則資產組合的收益為

最優化問題為在給定方差水平下最大化收益，或給定收益水平下最小化方差。

儘管沒有考慮基礎資產的收益率分布，但隱形假設是基礎資產服從 分布。

Markowitz模型缺陷:

1. 要求每項資產都有具體且較為準確的預期收益假定

2. 利用均值-方差模型求解資產權重時，常常會發現所得的結果十分極端。

3. 一旦某些信號出現，使得投資者對市場產生了主觀觀點，那麼他就希望調整原有的組合權重，並繼續保持均值-方差體系下的最優性。

2. 市場均衡權重

無觀點情況下，市場均衡條件下資產組合收益率為：

表示資產組合收益， 是風險厭惡係數，也即夏普率，也即SML斜率。 為均衡權重。資產組合收益的先驗分布可以表示為：

也可以表示為:

是均值為0且方差為 的正態分布。 衡量不確定性，在 時，通過模型計算的權重將趨於市場均衡權重。

3. 觀點矩陣

P，k*n，每行代表一個觀點所涉及的資產的權重，k個觀點互不相關

Q，k*1，表示每個觀點的期望收益

，k*k，觀點的協方差陣，第i個對角元用 表示。

投資者觀點可以描述如下：

即：

上式將觀點收益與均衡收益聯繫起來，即加入觀點後的期望收益與觀點相關。 是不可觀測的正態隨機變數，均值為0，協方差陣為 。

4. Bayes框架

即市場觀點作用於預期收益率 ，使得存在觀點時均衡收益率發生變化。

計算可得後驗分布為 。

其中, 為資產組合收益率，

考慮極端情況，P=0，則 ，市場無觀點，則 。

5. 最優化問題

套用Markowitz框架，即求解最優化問題：

得：

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