調和級數發散的多種證法

05-23

調和級數發散的多種證法

證法一：利用柯西收斂準則證明部分和數列 $S_{n}$ 發散

證明：令

$S_{n}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}$

事實上，存在 $varepsilon_{0}=frac{1}{2}$ ，對任意自然數 $N$ ，總能找到兩個自然數 $m_{0}>N,n_{0}=2m_{0},$ 當然也有 $2m_{0}>N$ ，使得：

$|S_{2m_{0}}-S_{m_{0}}|=frac{1}{m_{0}+1}+frac{1}{m_{0}+2}+...+frac{1}{2m_{0}}>frac{1}{2m_{0}}+frac{1}{2m_{0}}+...+frac{1}{2m_{0}}=frac{1}{2}=varepsilon_{0}$

據柯西收斂準則的否定敘述， $S_{n}$ 發散，從而 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法二：證明部分和數列 $S_{n}$ 的子列 $S_{2^{m}}$ 發散

證明：

$S_{2^{m}}=1+frac{1}{2}+(frac{1}{3}+frac{1}{4})+(frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}+frac{1}{8})+...+(frac{1}{2^{m-1}+1}+frac{1}{2^{m-1}+2}+...+frac{1}{2^{m}})$

$>1+frac{1}{2}+2 imesfrac{1}{4}+4 imesfrac{1}{8}+...+2^{m-1} imesfrac{1}{2^{m}}=1+(frac{1}{2}+frac{1}{2}+frac{1}{2}+...+frac{1}{2})=1+frac{m}{2}$

於是： $lim_{m ightarrow infty}{S_{2^{m}}}geqlim_{m ightarrow infty}(1+frac{m}{2})=+infty$ ，

即： $lim_{m ightarrow infty}{S_{2^{m}}}=+infty$ .故數列 $S_{n}$ 發散，從而 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法三：利用歐拉-—馬歇羅尼常數證明

證明：證明數列 $a_{n}$ 存在級限 $gamma$ （歐拉-—馬歇羅尼常數），這裡：

$a_{n}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}-logn,$

即 $1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}-logn=gamma+varepsilon_{n},$ 其中 $varepsilon_{n}>0(n ightarrowinfty)$ ,因為：

$log(1+frac{1}{n})<frac{1}{n},$

所以： $log(n+1)-logn<frac{1}{n},$

從而有： $log(n)-log(n-1)<frac{1}{n-1},...log3-log2<1/2,log2-log1<1,$

上述 $n$ 個不等式兩邊相加得：

$log(n+1)<1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n},$

於是： $a_{n+1}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}+frac{1}{n+1}-log(n+1)>frac{1}{n+1}>0.$

即 $a_{n}$ 有下界，應用不等式 $frac{1}{n+1}<log(1+frac{1}{n}),$ 有：

$a_{n}-a_{n+1}=-frac{1}{n+1}+log(n+1)-logn=log(1+frac{1}{n})-frac{1}{n+1}>0.$

故 $a_{n}$ 又是一個單調下降的數列，因此 $lim_{n ightarrow infty}{a_{n}}$ 存在，用 $gamma$ 表示，即：

$lim_{n ightarrow infty}{(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}-logn)=gamma},$

也就是： $1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}=logn+gamma+varepsilon_{n},(lim_{n ightarrow infty}{varepsilon_{n}}=0)$

顯然： $lim_{n ightarrow infty}{S_{n}}=lim_{n ightarrow infty}{(logn+gamma+varepsilon_{n})}=+infty$

故調和級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法四：級數 $sum_{n=1}^{infty}a_{n}$ 與級數 $sum_{n=1}^{infty}2^{n}a_{2^{n}}$ 有相同的收斂性

證明：取 $a_{n}=frac{1}{n},n=1,2,3,...,$

因為： $1>frac{1}{2}>frac{1}{3}>...>frac{1}{n}>0,$

而級數： $sum_{n=1}^{infty}2^{n}a_{2^{n}}=sum_{n=1}^{infty}2^{n}cdotfrac{1}{2^{n}}=sum_{n=1}^{infty}1=+infty$ 發散，

故調和級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法五：利用廣義積分法

證明：對於部分和數列 $S_{n}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}$ 有：

$S_{n}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}geqint_{1}^{n+1}frac{1}{x}dx,$

而 $int_{1}^{n+1}frac{1}{x}dx=log(n+1),lim_{n ightarrow infty}{}log(n+1)=+infty.$

因此： $lim_{n ightarrow infty}{S_{n}}=+infty,$

故而調和級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法六：證明子級數發散

證明：調和級數中分母末位含有0的項組成的子級數是：

$lim_{n ightarrow infty}{u_{n}}=frac{1}{10}+frac{1}{20}+...+frac{1}{100}+frac{1}{110}+...+frac{1}{1000}+frac{1}{1010}+...++frac{1}{10000}+frac{1}{10010}+...+frac{1}{100000}+...$

在此級數中，分母從10到100的項共有10項，其和大於1/10;

分母從110到1000的項共有90項，其和大於9/100;

分母從1010到10000的項共有900項，其和大於9/100;

......

分母從 $10^{n}+10$ 到 $10^{n+1}$ 的項共有 $9 imes10^{n-1}$ 項，其和大於9/100;

從而： $lim_{n ightarrow infty}{u_{n}}geqfrac{1}{10}+frac{9}{100}+...+frac{9}{100}+frac{9}{100}+...+frac{9}{100}+frac{9}{100}+... ightarrowinfty$

故而調和級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法七：利用不等式 $frac{1}{n}>log(1+frac{1}{n})$

證明：

$S_{n}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}$

$>log2+logfrac{3}{2}+...+logfrac{n+1}{n}=log(1+n) ightarrowinfty$

即調和級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法八：利用均值不等式

證明：

$S_{n}=1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}$

則： $frac{1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}}{n}>(1 imesfrac{1}{2} imes... imesfrac{1}{n})^{frac{1}{n}}$

即： $1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+...+frac{1}{n}>frac{n}{sqrt[n]{n!}} ightarrowinfty$

故調和級數 $sum_{n=1}^{infty}{frac{1}{n}}$ 發散.

證法九：利用不等式 $frac{1}{n-1}+frac{1}{n}+frac{1}{n+1}>frac{3}{n},ngeq2$

證明： $frac{1}{n-1}+frac{1}{n}+frac{1}{n+1}-frac{3}{n}=frac{2n}{(n-1)n(n+1)}>0,ngeq2$

$frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}>frac{3}{3}=1$

$frac{1}{5}+frac{1}{6}+frac{1}{7}>frac{3}{6}=frac{1}{2}$

$frac{1}{8}+frac{1}{9}+frac{1}{10}>frac{3}{9}=frac{1}{3}$

......

從而： $1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}...+frac{1}{n}...>1+1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{6}...+frac{1}{n}...$