剛體（一）：運動學

05-23

剛體（一）：運動學

來自專欄雜談剛體是指質點之間距離保持不變的質點系.

自由剛體是定常完整系統，有且僅有6個自由度.

剛體位移

平動位移是指剛體上所有點的位移在幾何上都相等的位移.

轉動位移是指剛體從初位置繞某固定直線旋轉得到末位置的剛體位移.

螺旋位移由平動位移和轉動位移合成，且這一平動位移沿著轉動軸.

約定

設 $Sspace X_SY_SZ_S$ 是固定坐標系；選取剛體上一點 $O$ 為基點，設置平動坐標系 $Ospace XYZ$ 和固連坐標系 $Ospace xyz$ .設 $P$ 是剛體上任一點， $m{R}$ 是其空間位矢，而 $m{r}$ 是其本體位矢. 約定對一般的矢量，將它在 $Ospace XYZ$ 中的表示與它本身不做區分；用撇號 $'$ 標識一個矢量在 $Ospace xyz$ 中的表示.

我們有

$m{R}=m{R}_O+m{r}quadm{r}=mathcal{R} m{r}$

其中 $m{R}_O$ 是基點的空間坐標， $mathcal{R}$ 是一個（適當）旋轉變換. 旋轉變換是用來表示剛體的旋轉的線性變換，為了保持全等，它是正交的單位矩陣：

$mathcal{R}^T=mathcal{R}^{-1}quadmathcal{R}_{ij}mathcal{R}^{jk}=delta_i^kquad mathcal{R}=1$

所以它只有三個獨立分量——這與剛體有三個轉動自由度是一致的. 對於運動的剛體，位置和取向一般都隨時間變化，故 $m{R}_O$ 和 $mathcal{R}$ 一般都是時間 $t$ 的函數.

定理一（Euler定理）剛體定點運動的任意位移都可以用繞通過定點的某個軸的單次轉動實現.
證明：構造性證明.
定理等價於，1是 $mathcal{R}$ 的一個特徵值. 相應的特徵向量 $m{hat{n}}$ 即為轉軸.
考慮其特徵值多項式 $f(lambda)=det(mathcal{R}-lambda)$ ，
$egin{align*} f(1)&=det(mathcal{R}-1)\&=det(mathcal{R}-1)^T\&=det(mathcal{R}^{-1}-1)\&=detmathcal{R}(mathcal{R}^{-1}-1)\&=det(-(mathcal{R}-1))\&=(-1)^3det(mathcal{R}-1)\&=-f(1)end{align*}$

故 $f(1)=0$ ，定理得證. █

當 $m{hat{n}}overset{cdot}{=}(cosalpha,coseta,cosgamma)^T$ 已經給定，相應的轉角為 $u=arccos(operatorname{tr}mathcal{R}-1)$

相應的變換矩陣為

$mathcal{R}=exp{ uegin{bmatrix}0&-cosgamma&coseta\cosgamma&0&-cosalpha\-coseta&cosalpha&0end{bmatrix}}$

顯然地， $alpha,eta,gamma$ 並不是相互獨立的.

一般為了應用方便，引入Euler角表述.

還可以引入四元數表述.

剛體的旋轉對應 $SO(3)$ 群.

剛體最一般的位移是螺旋位移（Mortz定理）推論：平面剛體在自身平面內最一般的位移，要麼是平動，要麼是繞一定點的轉動. 這一點稱為（有限）轉動中心.

剛體的無窮小位移·運動

對剛體總可以定義在確定時刻唯一的剛體角速度 $m{omega}$ ，使得對剛體上任一點 $P$ 都有

$m v = m v_O + m{omega} imes m r$

事實上有

$dot{mathcal{R}}mathcal{R}^{-1}=egin{bmatrix}0&-omega_Z&omega_Y\omega_Z&0&-omega_X\-omega_Y&omega_X&0end{bmatrix}$ 及 $dot{m r}=m{omega} imesm{r}$

從而

$m{omega}=frac{1}{2} operatorname{rot}m v$

剛體上任意一點的加速度為(Levas公式)：

$m w =m w_O + m{varepsilon} imesm r +m{omega} imes(m{omega} imesm r)$

剛體的瞬時速度中心由

$overrightarrow{OC}=frac{1}{omega^2}(m{omega} imesm v_O)$

給出.

剛體的瞬時加速度中心由

$overrightarrow{OQ}=frac{1}{omega^4+varepsilon^2}(omega^2m w_O+varepsilon imesm w_O)$

給出.

剛體的合成運動

合成速度

$m v=m u + m v_r$

合成加速度

$m w=m w_O+m w_r+m{varepsilon} imesm r+m{omega} imes(m{omega} imesm r)+2m{omega} imesm v_r$

記

$m{omega}overset{cdot}{=}(p,q,r)$

有

$egin{align*}p&=dot{psi}sin hetasinvarphi+dot{ heta}cosvarphi\q&=dot{psi}sin hetacosvarphi-dot{ heta}sinvarphi\r&=dot{psi}cos heta+dot{varphi}end{align*}$

稱為歐拉運動學方程.

問題：一個均質球體質量為 $m$ ，半徑為 $R$ ，表面有半球心角為 $heta$ 的圓軌道，質量同為 $m$ 的質點 $P$ 限制在軌道內，初始靜止，突然開始相對軌道勻速運動，周期為 $T$ ；試描述系統此後的運動.