L測度以及L-S測度概念辨析

05-22

L測度以及L-S測度概念辨析

來自專欄數學和計算機

對L測度和L-S測度的概念，時間長了就容易混亂，不是這個兩個概念之間混淆，而是m測度，m外側度和L測度的概念容易糊塗，同樣g測度，g外側度，以及L-S測度容易混淆，下面給以辨析，目的是以後忘記了可以隨時複習。

一、L測度

(1) m測度

該測度針對的是 $R_0$ 中的子集，是這樣定義的： $E in R_0$ , $E=igcup^n_{i=1}E_i,E_i=(a_i,b_i]$ ，其中 $E_i$ 兩兩不相交，即這個集合序列是 $E$ 的一個初等分解。定義 $m(E)=sum^n_{i=1}(b_i-a_i)$ ，那麼這個集函數 $m(E)$ 就定義為 $E$ 的測度，或者說成 $m$ 是 $R_0$ 上的測度。時刻記住測度是集函數，於是就有了集合的測度，某一個集類上的測度，這兩種說法了，如同說 $f$ 是 $x$ 的函數， $f$ 是實數函數，這樣就徹底清楚了m測度；

(2) m*測度

該測度就是外側度，對於外側度，其標準說法是m導出的外側度，對於 $m^*(E)$ 應該稱為 E 的由m導出的外側度，前面兩個修飾語，去掉m導出的，就是 E 的外側度，但是外側度不一定是測度，也就是外側度不一定滿足測度的定義，即可列可加性。至於m外側度的具體定義，此處不寫了，但是m*測度是 $H(R_0)$ 上的集函數，也就是針對的是 $H(R_0)$ 的子集，這一點要強調，如果是 $R_0$ ，也就不需要定義外側度，因為此時的外側度等於測度，也就是 $m^*=m$ ，對於屬於 $H(R_0)$ ，不屬於 $R_0$ 的子集，則不一定有 $m^*=m$ 了，也就是對於這樣的子集，定義外側度才有意義。總結一下就是集函數m也就是m測度的定義域是 $R_0$ ，而集函數 $m^*$ 也就是外側度 $m^*$ 的定義域是 $H(R_0)$ 。

(3) Lebesgue測度

對於 $H(R_0)$ 中，滿足Caratheodory條件的所有集合稱為L可測集，全體L可測集的集合記為 $L$ ，這時候外測度 $m^*$ 就稱為 Lebesgue測度。這樣一看，其實Lebesgue測度就是外測度 $m^*$ ，只是這時的 $L$ 是L可測集的全體。比較有意思的是Lebesgue可測集的全體幾乎就是 $H(R_0)$ ，也就是如果想找一個Lebesgue不可測集卻是比較困難的，這樣一來，這個外側度幾乎就是Lebesgue測度，比如所有的開集，閉集，有限集等等都是Lebesgue可測集，因此時間長了很可能就將Lebesgue測度誤以為就是m測度，事實上對於幾乎所有的集合，它們的測度值的確相等。總結一下就是Lebesgue測度就是 $m^*$ 外測度，只不過Lebesgue測度的定義域是 $L$ ，也就是這個外測度一旦縮小範圍，確定了 $L$ 這個定義域，這時候的外測度就滿足了測度的可列可加性質，鳥槍換炮，稱為測度了，因為這個測度來路不正，所以加一個定語，稱為Lebesgue測度。其實這個世界上所有的名詞只要加上一個修飾語，都是來路不正的，因為縮小範圍了，比如老婆，這是堂堂正正的明媒正娶，如果加上一個小，也就是小老婆，那就猥瑣了。一樣地， $g^*$ 是外測度，不是測度，但是偏篇想升格為測度，怎麼辦，縮小定義域範圍，加上一個修飾語Lebesgue，這就是Lebesgue測度了，也就是在 $L$ 這個範圍內， $g^*$ 就是測度，在測度前面加上Lebesgue這個單詞，徹底就表達清楚這個意思了。

如果要總結一下的話， $m^*$ 即外測度和Lebsgue測度是一回事，只是定義域不同，它們都是根據m測度定義出來的。

$L$ 顯然就是一般 $u^*$ -可測集的全體 $R^*$

二、L-S測度

L-S測度完全從Lebesgue測度推廣來的，事實上，Lebesgue測度是L-S測度的一個特例。我們按照的m測度，m* 外側度，lebesgue測度同樣的方法得到g測度，g*測度以及L-S測度

(1) g測度

設 $g(x)$ 是 $(-infty,+infty)$ 上單調增加，右方連續函數，對於任何 $E in R_0$ ，如果 $E= igcup^n_{i=1}(a_i,b_i]$ 是 $E$ 的初等分解，規定 $u_g(E)=sum^n_{i=1}(g(b_i)-g(a_i))$ ，可以證明這個集函數滿足測度的性質，稱為g測度。從上面的定義可以看出和m測度定義一致的，將g(x)=x，則g測度就是m測度。

(2) g*測度

g*測度是g導出的外側度，和m*的定義思想幾乎完全一樣，它的定義域也是 $H(R_0)$ ，實在沒有任何區別，完全對照 $m^*$ 可以寫下它的所有特點和性質

(3) L-S測度

該測度就是相對於g*外測度與L測度相對於 $m^*$ 外側度完全相同，沒有任何不同，也就是L-S測度和g*外測度具有同樣的定義公式，只是定義域不同。類似的， $H(R_0)$ 中，基於g*外測度，滿足Caratheodory條件的所有集合稱為L-S可測集，這些可測集的全體，記為 $L^g$ 。

這樣一來，g測度的定義域是 $R_0$ ， $g^*$ 外側度的定義域是 $H(R_0)$ ，L-S測度的定義域是 $L^g$ ，我們上面講了Lebesgue可測集很多，很難在 $H(R_0)$ 中找到Lebesgue不可測集，但是L-S可測集的獲得是和g*測度相關的，而g(x)是不確定的函數，是不是L-S可測集如同L可測集一樣，幾乎在 $H(R_0)$ 中的所有子集都是L-S可測集，這個問題需要進一步學習了解。

同樣， $L^g$ 也就是一般 $u^*$ -可測集的全體 $R^*$