擴展有限單元法學習的簡單小結

上一篇文章（QuYln：基於ABAQUS的三維斷裂力學模擬）介紹了ABAQUS模擬靜態尖銳裂縫的應力場，以及靜態參數應力強度因子，J積分的求解。這種方法已經可以穩定實現任意的3D靜態裂縫斷裂參數的求解了。今天以ABAQUS的分析用戶手冊為基礎，和大家分享一下擴展有限元XFEM的相關基礎理論，後續可能會加入之前文章算例的擴展過程。擴展有限元博大精深，我只能寫寫最基礎的概念，專家請多指教！

首先，回顧一下上一篇文章的分析結果，我們在一個尖銳列封面上通過定義裂紋前沿與虛擬裂紋擴展方向來定義裂縫特徵，通過特定的單元節點位置偏移來模擬線彈性斷裂力學的奇異性，做出了以上結果，但是其中的問題在於，如果外載入荷過大，整個材料將會發生損傷，即裂縫擴展，那麼，傳統的有限元方法將很難模擬出斷裂效果，擴展有限元方法通過適當改造形函數，得出了一系列較可靠的結果。

傳統的FEM在對於含有裂紋的模型分析時，裂縫面必須是單元的邊界，是不可以發生單元內部斷裂的，因為形函數具有連續的特徵，位移場保持連續時，單元不可能開裂。

而上圖所描述的模擬過程，一個單元從內部發生了斷裂，而且沒有對網格進行特殊處理，裂縫甚至可以生長，這便是擴展有限元的特徵與優勢。

一、擴展有限元所採用的形函數：

interpolation的意思是插值，inter-表示內部的，傳統的有限元方法，最終求解的是總體剛度方程，以節點位移為基本未知量，要得到單元內部的位移值，需要通過插值來進行。

對於裂紋的擴展所產生的位移不連續，傳統的有限單元法採用的形狀函數無法實現，這裡對傳統的形狀函數進行改造。

Heaviside補充項：主要是引入了一個階躍函數描述被裂縫所切分的單元存在位移不連續

裂縫前沿補充項：對裂縫尖端引入一個漸進函數，主要用來模擬尖端的奇異性

note：Heaviside補充以及裂紋前沿的補充項都要乘上經典的形狀函數N（我的理解是，這兩個補充項必須只具有局部特徵，在結構中裂縫的遠場應該不能有任何影響）。

Heaviside函數通過在不同條件下取值為1，-1來描述位移不連續特性。

對於各向同性的線性彈性的尖銳裂縫的尖端具有奇異性，用一個改造的函數來作為漸進。

二、水平集函數：