麻省理工線性代數（八）-Ax=b的求解

來自專欄 劉梳子數學

本講主要內容：

Ax=b的求解

1.給出Ax=b的一個列子：

過高斯消元法，得到R：

注意最後一列，右側的b3=0，保證此方程組有解。

針對於一般向量b，

味著b3-b1-b2=0，只有b滿足此條件，方程組才有解。

推廣到一般情況，

當b在A的列向量空間中時，Ax=b有解；

如果行的線性組合得到零行，那麼b中元素相應的組合也為0（上面的例子是b3-b1-b2=0），此時Ax=b有解。

2.特解和完整解

第1列和第3列是主元列，第2列和第4列是自由列，相應的x1和x3是主元變數，x2和x4是自由變數。

第一步，為了尋找一個特解xp，假定自由變數x2=x4=0，帶入方程組，可以得到x1=1,x3=6。

其實，自由變數可以取0以外的值，沒有問題，這裡取得是最簡單的值。

第二步，尋找Ax=0的解。

具體解法，在第七講已經很清楚了。

本題Ax=0的解為，

第三步，得到Ax=b的完整解：x=xp+xN

X是整個零空間平移到xp，本身不是子空間，因為不過零點。

3.討論一般矩陣

考慮mxn的矩陣，其中矩陣的秩為r（定義為主元個數），

（主元個數不會超過行數m，當然也不會超過列數n）

（1）A是一個方陣，且m=n=r，此時A是一個可逆方陣

此時，每一個列都是主列，沒有自由列，此時零空間xN=0，x=xp，此時有唯一解。

（2）若r=n，m>n，即行數大於列數，此時A是一個長條矩陣，m個方程n個未知數。

每一個列都是主列，沒有自由列，零空間xN=0，x=xp，此時有可能無解（b沒在列空間內）或具有唯一解。

舉例：

只有滿足b3+b1+b2=0時才有唯一解，否則無解。

（3）若r=m,n>m,即列數大於行數，此時A是一個扁平矩陣

r個主元列，n-r個自由列，因此xN肯定有非零解。且肯定能找到xp，因為r=m,意味著列空間鋪滿整個Rm，無論b去何值，肯定在次空間內。因此，此時x有無數個解。

舉例：

（4）若r<m,且r<n,最一般情況。

r個主元列，n-r個自由列，因此xN肯定有非零解。但不一定能找到xp，因為列空間沒有鋪滿整個Rm。若b在列空間內，則有x無數個解；若b不再列空間內，則x無解。

舉例：

總結：把A整理成簡化行階梯形式rref，可以看出對應的秩的情況：