局部域（二）完備化

05-22

局部域（二）完備化

來自專欄數論筆記

（一）完備化（metric）

首先回憶度量空間的完備化，key idea是把「等價的Cauchy列 $overline{(a_{n})}$ 」當作元素，兩個元素的距離定義為 $d(overline{(a_{n})},overline{(b_{n})})=lim_{n ightarrow infty}d(a_{n},b_{n})$ ，後者存在是因為可以驗證 $d(a_{n},b_{n})$ 是 $mathbb{R}$ 中的Cauchy列，而 $mathbb{R}$ 在絕對值誘導的度量下是完備的。即以下定理：

Th1. $(X,d)$ 是一個度量空間，完備化是 $(widehat{X},{varphi}:X ightarrowwidehat{X})$ 滿足：

（1） $(widehat{X},widehat{d})$ 是完備度量空間。（2） $varphi(X)$ 在 $widehat{X}$ 中稠密：對於任意 $widehat{x}in widehat{X}$ ，存在 $X$ 中的Cauchy列 $(a_{n})$ 使得 $widehat{d}(varphi(x_{n}),widehat{x}) ightarrow0,n ightarrowinfty$ 。

（3） $varphi$ 是保距映射： $widehat{d}(varphi(x),varphi(y))=d(x,y)$ 。

並且完備化在保距雙射意義下唯一。

我們把賦值域完備化，並且最關心的是nonarchimedean的情形。為了了解具體構造，我們寫一個略微詳細的證明。

Th2. $(K,|cdot|)$ 是一個賦值域， $|cdot|$ 是一個離散的、nonarchimedean的絕對值， $v$ 是由 $|cdot|$ 誘導的normalized的離散賦值（假設存在）。那麼存在唯一（在保絕對值同構意義下）的完備化 $(widehat{K},varphi:K ightarrowwidehat{K})$ :

（1） $widehat{K}$ 是一個域， $|cdot|$ 延拓成 $widehat{K}$ 上的離散的、nonarchimedean的絕對值。

（2） ${varphi}:K ightarrowwidehat{K}$ 是保絕對值的， $varphi(K)$ 在 $widehat{K}$ 中稠密。

Proof.（a detailed sketch）

Step1 定義 $widehat{K}$ :

$widehat{K}$ 的元素定義為 $K$ 中等價的Cauchy列 $overline{(a_{n})}$ ： $(a_{n})sim (b_{n})$ 當且僅當 $|a_{n}-b_{n}| ightarrow0,n ightarrowinfty$ 。（容易驗證 $sim$ 是 $K$ 中Cauchy列全體上的等價關係）

Step2 延拓 $|cdot|$ ，說明 $widehat{K}$ 是域：

對於 $widehat{x}=overline{(a_{n})}inwidehat{K}$ ，定義 $|widehat{x}|=lim_{n ightarrow infty}|a_{n}|$ 。

Ex1. 驗證 $|widehat{x}|$ 是well defined的，即 $lim_{n ightarrow infty}|a_{n}|$ 存在並且與代表元的選取無關。

（Hint： ${|a_{n}|}$ 是 $mathbb{R}$ 中的Cauchy列，用三角不等式證明 $||a_{n}|-|b_{n}||leq|a_{n}-b_{n}|$ ，左邊那個外層的絕對值是實數中的絕對值，以及 $||b_{n}|-a|leq||b_{n}|-|a_{n}||+||a_{n}|-a|$ 。）

Ex2. $|widehat{x}|=lim_{n ightarrow infty}|a_{n}|=a>0$ 時，說明實際上從某項 $n$ 開始 $|widehat{x}|=|a_{n}|$ 。

（Hint：利用nonarchimedean絕對值的一個性質： $|a+b| e ext{max}{|a|,|b|}Rightarrow|a|=|b|$ 以及從某項開始 $|a_{n}|,|a_{m}|in(a-varepsilon,a+varepsilon),|a_{n}-a_{m}|<varepsilon$ ，其中取 $varepsilon<a/3$ 。）

$widehat{K}$ 是一個域： $widehat{x}=overline{(x_{n})},widehat{y}=overline{(y_{n})}inwidehat{K}$ 定義加法和乘法為

$widehat{x}+widehat{y}=overline{(x_{n}+y_{n})},widehat{x}cdotwidehat{y}=overline{(x_{n}y_{n})}$ 。

Ex3. 證明 $widehat{K}$ 在上述加法和乘法下構成一個域。

在說明了 $widehat{K}$ 是一個域以後，我們要說明 $|cdot|$ 的確是一個離散的、nonarchimedean的絕對值。這裡只有「離散」要說明一下：利用Ex2證明 $|widehat{K}^{ imes}|=|K^{ imes}|$ 即可。

Ex4. $|widehat{K}^{ imes}|=|K^{ imes}|$ ，於是 $|widehat{K}^{ imes}|$ 在 $mathbb{R}_{>0}$ 中離散。

Step3 定義嵌入 $varphi:K ightarrowwidehat{K},amapstooverline{(a,a,a,...,a...)}$ ，以及 $widehat{K}$ 上度量 $widehat{d}(widehat{x},widehat{y})=|widehat{x}-widehat{y}|$ 。

那麼顯然 $varphi$ 是保絕對值的單同態。

我們注意到 $widehat{d}(widehat{x},widehat{y})=|widehat{x}-widehat{y}|=lim_{n ightarrow infty}|x_{n}-y_{n}|=lim_{n ightarrow infty}d(x_{n},y_{n})$ 。也就是說，通過延拓絕對值而誘導的度量和度量空間完備化得到的度量是一樣的，所以由Th1可知 $varphi(K)$ 在 $widehat{K}$ 中稠密，並且 $widehat{K}$ 在保絕對值同構下唯一。

（二）賦值環

考慮： $widehat{A}={ainwidehat{K}~|~|a|leq1},widehat{mathfrak{m}}={ainwidehat{K}~|~|a|<1}$

Claim1. $widehat{A}$ （ $widehat{mathfrak{m}}$ ）是 $A$ （ $mathfrak{m}$ ）在 $widehat{K}$ 中的閉包。

Proof. 注意到 $widehat{A}$ 即 $A$ 中所有Cauchy列極限構成的集合：顯然 $A$ 中所有Cauchy列的極限都在 $widehat{A}$ 中；反過來，如果 $a=overline{(a_{n})}inwidehat{A}$ ，那麼從某一項開始 $a_{n}in A$ ，前面的項無關緊要，自然可以把 $(a_{n})$ 看作 $A$ 中的Cauchy列。

於是 $widehat{A}$ 由 $A$ 在 $widehat{K}$ 中的所有極限點構成，是其在 $widehat{K}$ 中閉包。同樣可說明 $widehat{mathfrak{m}}$ 是 $mathfrak{m}$ 的閉包。

注意到如果 $mathfrak{m}=(pi)$ ，那麼 $widehat{mathfrak{m}}=(pi)$ 。

Claim2. 對於每個正整數 $n$ ， $A/mathfrak{m}^{n}=widehat{A}/widehat{mathfrak{m}}^{n}$ 。

Proof. 注意到 $A/mathfrak{m}^{n} ightarrowwidehat{A}/widehat{mathfrak{m}}^{n}~ ext{injective}Leftrightarrow~Acapwidehat{mathfrak{m}}^{n}=mathfrak{m}^{n}$ 。

其次由定義可知 $A$ 在 $widehat{A}$ 中稠密：即對於 $ainwidehat{A}$ ，可找到 $a_{0}in A$ 使得 $v(a-a_{0})>n$ 。

那麼 $a-a_{0}inwidehat{mathfrak{m}}^{n}$ ，所以 $a=a_{0}+(a-a_{0})in A+widehat{mathfrak{m}}^{n}$ ，即 $A/mathfrak{m}^{n} ightarrowwidehat{A}/widehat{mathfrak{m}}^{n}$ 滿射。

Example. $mathbb{Z}/p^{n}mathbb{Z}simeqmathbb{Z}_{(p)}/p^{n}mathbb{Z}_{(p)}simeqmathbb{Z}_{p}/p^{n}mathbb{Z}_{p}$

（第一個同構是局部化的標準結果）

（三） $mathfrak{m}- ext{adic}$ 展開

Claim3. 設 $S$ 是 $A/mathfrak{m}$ 的代表構成的集合，並且 $mathfrak{m}=(pi)$ 。那麼 ${s_{M}=sum_{i=-n}^{M}a_{i}pi^{i}~|~a_{i}in S}$ 是Cauchy列。並且 $widehat{K}$ 中任一個元素 $alpha$ 都可以唯一表示成 $a_{0}pi^{n}+a_{1}pi^{n+1}+a_{2}pi^{n+2}...$ ，其中：

$a_{0} e0,v(alpha)=n$ 。

Proof. 第一個斷言是trivial的。

任取 $alphainwidehat{K}$ ，假設 $v(alpha)=n$ ，則 $v(pi^{-n}alpha)=0Rightarrowpi^{-n}alphainwidehat{A}^{ imes}Rightarrowalpha=pi^{n}alpha_{0},alpha_{0}inwidehat{A}^{ imes}$ 。

$exists a_{0}in S,alpha_{0}-a_{0}inwidehat{mathfrak{m}},frac{alpha_{0}-a_{0}}{pi}inwidehat{A}( extbf{Remark:}~a_{0} e 0, ext{otherwise}~alpha_{0}inwidehat{mathfrak{m}}Rightarrow alpha_{0} otinwidehat{A}^{ imes})$ ，

$exists a_{1}in S,frac{alpha_{0}-a_{0}}{pi}-a_{1}inwidehat{mathfrak{m}}$ ，

......

$alpha_{0}-a_{0}-a_{1}pi-...-a_{n}pi^{n}inpi^{n}widehat{mathfrak{m}}Rightarrow|alpha_{0}-sum_{i=0}^{n}a_{i}pi^{i}|leq|pi^{n}| ightarrow0Rightarrowalpha_{0}=sum_{i=0}^{infty}a_{i}pi^{i}$ 。

於是， $alpha=a_{0}pi^{n}+a_{1}pi^{n+1}+a_{2}pi^{n+2}...$ ，或者記為 $alpha=sum_{i=n}^{infty}c_{i}pi^{i}$

注意到，如果令 $s_{m}=sum_{i=n}^{m}c_{i}pi^{i},mgeq n$ ，那麼由構造可知：

$alphaequiv s_{m-1}~ ext{mod}~pi^{m}$ ，並且 $alpha=overline{(s_{m})}$ ， $s_{m}equiv s_{m-1}~ ext{mod}~pi^{m}$ 。

唯一性：

注意到上面的證明說明了：如果 $alpha=sum_{i}c_{i}pi^{i}$ ，第一個不為 $0$ 的 $c_{i}$ 是 $c_{m}$ ，則 $v(alpha)=m$ ，那麼 $alpha=sum_{i}c_{i}pi^{i}=0Leftrightarrow c_{i}=0, ext{for all}~i$ 。