分析和代數原理(3)

來自專欄 物理學原理概述

空間、子空間和線性形式的維數

令 是域 上的線性空間。稱 是 的子空間，若 上保持了 的線性結構，並且加法和數乘在 內封閉；所謂運算 在集合 內封閉，是指 。稱兩個子空間 與 的和是 。再次強調，我們目前僅研究有限維的線性空間。

定理 ，其中 是線性空間的子空間。

若 ，則稱 與 的和是直和，記作 。若 ，則稱 和 是互補子空間。

令 分別是域 上的n維和m維線性空間， 是線性形式。稱 是 的核， 是 的像。可以驗證核與像都是 的子空間。現在分別給出 和 的一組基 和 ，研究矩陣：

其中 是待定係數。稱 矩陣 是線性形式 在基 和 下的矩陣，並稱 是線性形式 的秩。之所以這麼稱呼，是下述定理保證了：

定理 對 和 任意的基，線性形式 的秩等於它所對應矩陣 的秩。

下面這個重要定理把核與像聯繫了起來：

定理 ，其中 是線性形式。

線性運算元

稱域 上有限維線性空間 上的線性變換 是線性運算元。再次說明，矩陣的一些定義和性質可以照搬到到線性映射上。一般把運算元作用在向量上的結果 記作 。

按如下方式定義線性運算元的冪： 為恆等映射， 。稱多項式 是線性運算元 的零化多項式，若 ，其中 。稱線性運算元的首項次數最低的首一零化多項式 是它的極小多項式；多項式的首項，即冪次最高的那一項 ，而首一即是說冪次最高項的係數 是1。

現在來研究一個無窮維線性空間——多項式空間，它的一組基是 。多項式空間的向量就是有限維的，或無窮維的多項式 。多項式空間上顯然可以定義加法交換群和乘法半群，且容易驗證乘法半群可交換。這樣多項式空間就有了一個代數結構，交換環。令 ，稱多項式空間為運算元的多項式代數，記作 。

定理 所有線性運算元都有極小多項式，並且極小多項式的最高次冪等於 。運算元 滿秩當且僅當極小多項式中的自由項 。

所謂滿秩就是 。用矩陣的話來說就是矩陣非退化。在進一步敘述之前，先給出如下重要的判定方法：

命題 方陣 非退化當且僅當 。

接著前面的研究，同一線性空間下的兩組基：

這即 ，其中 ， 。同樣的，我們也可以找到一個矩陣 使 ，顯然，這表明了 ，從而我們有如下命題：

命題 線性空間中兩組基之間的轉換矩陣 可逆。

現在來看線性運算元 在兩組基下的矩陣：首先選擇基 ，那麼有矩陣 使 ；另外一組基 則給出 其中 。我們同樣可以考慮，有運算元 使 。最後再給出基的轉換矩陣 且 。聯立上面四式可得 ，從而 。稱矩陣 與 相似，記作 ，若存在非退化矩陣 使得 。容易發現相似是一個等價關係。

不變子空間，運算元譜

稱線性空間 的子空間 相對於線性運算元 是不變子空間，若 。先來研究一維的不變子空間。稱一維不變子空間的任意非零向量是運算元 的本徵向量。顯然運算元 的本徵向量 有如下關係： ，其中 被稱作對應於 的本徵值。令 ，稱 是本徵值 的幾何重數。

由 ，可得 其中 非零，那麼 ，由前面的判定命題可得 。稱 是矩陣 的本徵多項式，而 是 的本徵方程。稱 作為本徵多項式的根的重數是它的代數重數，即一個自然數 使 但 。

定理 相似矩陣的本徵多項式相同。

藉助這個定理我們可以單獨討論本徵多項式而不涉及運算元本身或在空間中給出的基。

稱線性運算元 可對角化，若有基 使它的矩陣是對角陣 。現在引入一個重要概念來幫助研究對角化：稱運算元 的所有本徵值的集合是運算元的譜，記作 ，其元素，即本徵值，被稱作譜點。若一個譜點的對應的幾何重數是1，就稱它是單譜點，並稱所有譜點都是單譜點的譜為單譜。

定理 若運算元 的譜是單譜，則它可對角化。

這是最特殊，最簡單的情況。對於一般的情況，有下述定理：

定理 線性運算元 可對角化，當且僅當(1) 本徵多項式的所有根 (2)所有本徵值的幾何重數等於代數重數。

最後給出一個簡潔的定理。

定理(Hamilton-Caylay) 線性運算元 的本徵多項式 是它自身的零化多項式，即 。