非線性控制筆記(19)反饋線性化控制之Input-State Linearizable Condition

05-22

來自專欄矩陣與控制理論

本文主要參考伊朗Amirkabir University of Technology的女教授 Farzaneh Abdollahi在Nonlinear Control課上的Lecture Notes。如有錯誤疏漏，煩請指出。如需轉載，請聯繫筆者，zhu.hathaway@gmail.com。

考慮單輸入( $uin R^1$ )的非線性系統具有如下形式：

$dot x=f(x)+g(x)u$

也就是：

$left( {egin{array}{*{20}{c}} dot x_1\ dot x_2\:\dot x_n\ end{array}} ight)=left( {egin{array}{*{20}{c}} f_1(x)\ f_2(x)\:\f_n(x) end{array}} ight)+left( {egin{array}{*{20}{c}} g_1(x)\ g_2(x)\:\g_n(x) end{array}} ight)u$

我們希望通過狀態變換 $z=left( {egin{array}{*{20}{c}} z_1\ z_2\:\ z_n\ end{array}} ight)=phi(x)=left( {egin{array}{*{20}{c}} phi_1(x)\ phi_2(x)\:\phi_n(x)\ end{array}} ight)in R^n$

在新的狀態 $z$ 下，只有在 $dot z_n$ 才出現輸入 $u$ ，並具有以下形式(為什麼要這樣的形式，因為簡單好看。數學喜歡看顏值。依據Brunovsky Theorem所有可控單輸入線性系統都可通過相似變換化成此形式)：

$dot z_1=z_2,{kern 40pt}\ dot z_2=z_3,{kern 40pt}\ cdots, {kern 58pt}\ dot z_{n-2}=z_{n-1},{kern 22pt}\ dot z_n=alpha(z)+eta(z)u$

而由於 $z_1=phi_1(x)$ ，所以 $dot z_1=frac{partial phi_1}{partial x}dot x$ ，其中 $frac{partial phi_1}{partial x}in R^n$ 是gradient(因此是行向量)，乘以 $dot x$ (列向量)。所以有 $dot z_1=frac{partial phi_1}{partial x}dot x=frac{partial phi_1}{partial x}[f(x)+g(x)u]=frac{partial phi_1}{partial x}f(x)+frac{partial phi_1}{partial x}g(x)u$ ，但是就像剛才所說，我們想使得 $dot z_1=z_2$ ，且沒有輸入 $u$ 出現，也就是 $frac{partial phi_1}{partial x}f(x)=z_2，frac{partial phi_1}{partial x}g(x)=0$ 。同樣地， $dot z_2=z_3$ ，且沒有輸入 $u$ 出現，也就是 $frac{partial phi_2}{partial x}f(x)=z_3，frac{partial phi_2}{partial x}g(x)=0$ 。以此類推到 $dot z_{n-1}=z_n=frac{partial phi_{n-1}}{partial x}f(x)+frac{partial phi_{n-1}}{partial x}g(x)$ ，且沒有輸入 $u$ 出現，也就是 $frac{partial phi_{n-1}}{partial x}f(x)=z_n，frac{partial phi_{n-1}}{partial x}g(x)=0$ 。唯獨 $dot z_{n}$ 不同，我們希望 $dot z_{n}=alpha(z)+eta(z)u$ ，需要出現輸入 $u$ ，也就是 $dot z_{n}=alpha(z)+eta(z)u=frac{partial phi_n}{partial x}f(x)+frac{partial phi_n}{partial x}g(x)u$ 。

一、Input-State Linearizable分析

如果我們利用控制筆記(17)反饋線性化控制之Lie Derivative and Lie Bracket介紹的Lie Derivative來重寫以上條件，就是：

$L_{old f}phi_1=z_2,L_{old f}phi_2=z_3,cdots,L_{old f}phi_{n-1}=z_n;{kern 30pt}\ L_{old g}phi_1=0,L_{old g}phi_2=0,cdots,L_{old g}phi_{n-1}=0,L_{old g}phi_{n} e0;$

因為 $frac{partial phi_1}{partial x}f(x)=L_{old f}phi_1，frac{partial phi_1}{partial x}g(x)=L_{old g}phi_1$ ，以此類推。那麼我們可以選取新的狀態量 $z=phi(x)=left( {egin{array}{*{20}{c}} phi_1(x)\ phi_2(x)\:\phi_n(x)\ end{array}} ight)=left( {egin{array}{*{20}{c}} z_1\ z_2\:\ z_n\ end{array}} ight)=left( {egin{array}{*{20}{c}} z_1\ L_{old f}phi_1\:\ L_{old f}phi_{n-1}\ end{array}} ight)=left( {egin{array}{*{20}{c}} phi_1(x)\ L_{old f}phi_1(x)\:\ L_{{old f}}phi_{n-1}(x)\ end{array}} ight)$

並且滿足 $L_{old g}phi_1=L_{old g}phi_2=cdots =L_{old g}phi_{n-1}=0,L_{old g}phi_{n} e0.$

其實，進一步，以上變數替換和條件利用Lie Bracket，可以寫為僅僅是 $z_1=phi_1(x)$ 的表達式。首先

$L_{old g}phi_1=L_{old g}phi_2=cdots L_{old g}phi_{n-1}=0$

等價於

$L_{old g}phi_1=L_{old g}L_{old f}^1phi_1=cdots= L_{old g}L_{old f}^{n-2}phi_1=0$

(直接代入新狀態的定義即可得)，然後這時候我們需要用到一個引理：

Lemma: 如果z是在區域 $Omega$ 的一個光滑的標量函數，那麼以下等式 $L_{old g}old z=L_{old g}L_{old f}^1old z=cdots =L_{old g}L_{old f}^kold z=0$

等價於

$L_{old g}old z=L_{old{ad}_{old f}^{1} g}old z=cdots =L_{old{ad}_{old f}^{k} g}old z=0.$

以上引理的推導根據非線性控制筆記(17)反饋線性化控制之Lie Derivative and Lie Bracket中最後一段Lie Bracket的Jacobi Identity的性質: $L_{old{ad}_f g}h=L_{old f}(L_{old g}h)-L_{old g}(L_{old f}h)$ ，就可以推出，我在這裡就不細推了。

那麼根據以上引理，我們可以知道 $\L_{old g}phi_1=L_{old g}L_{old f}^1phi_1=cdots= L_{old g}L_{old f}^{n-2}phi_1=0$

就等價於

$abla phi_1*{old{ad}_f^{0} g}= abla phi_1*{old{ad}_f^{1} g}= abla phi_1*{old{ad}_f^{2} g}=cdots= abla phi_1*{old{ad}_f^{n-2} g}=0$

最後 $L_{old g}phi_{n} e0$ ，就是 $abla phi_1*{old{ad}_f^{n-1} g} e0$ 。顯然，如果 ${old{ad}_f^{n-1} g}$ 可以表示成 ${old{ad}_f^{0} g}, {old{ad}_f^{1} g}, {old{ad}_f^{2} g}, cdots, {old{ad}_f^{n-2} g}$ 的線性組合形式，那麼 $abla phi_1*{old{ad}_f^{n-1} g}$ 一定等於0。但現實情況是 $abla phi_1*{old{ad}_f^{n-1} g} e0$ ，所以有 ${old{ad}_f^{0} g}, {old{ad}_f^{1} g}, {old{ad}_f^{2} g}, cdots, {old{ad}_f^{n-2} g},{old{ad}_f^{n-1} g}$ 一定線性無關。

那麼問題是，滿足以上條件的標量函數 $phi_1$ 一定存在嗎？於是有了可Input-State反饋線性化的定理：

Input-State Linearization定理：

f(x)與g(x)是光滑的向量場函數，那麼非線性系統 $dot x=f(x)+g(x)u$ 是input-state linearizable的充分必要條件是存在某個區域 $Omega$ 滿足：

n個向量場函數 ${old{ad}_f^{0} g}, {old{ad}_f^{1} g}, {old{ad}_f^{2} g}, cdots, {old{ad}_f^{n-2} g},{old{ad}_f^{n-1} g}$ 線性無關
${old{ad}_f^{0} g}, {old{ad}_f^{1} g}, {old{ad}_f^{2} g}, cdots, {old{ad}_f^{n-2} g}$ 在區域 $Omega$ 是involutive的

以上定理的第一個條件可以理解為是controllability的條件。如果是線性系統，第一個條件的n個向量場函數就可以變成了 $B,AB,...A^{n-1}B$ ，他們線性無關，意味著可控性矩陣滿秩。

定理中的第二個條件線性系統是永遠滿足的，但是非線性系統就不一定滿足了。 ${old{ad}_f^{0} g}, {old{ad}_f^{1} g}, {old{ad}_f^{2} g}, cdots, {old{ad}_f^{n-2} g}$ 在區域 $Omega$ 是Involutive distribution的，是由 $L_{old g}phi_1=L_{old g}L_{old f}^1phi_1=cdots= L_{old g}L_{old f}^{n-2}phi_1=0$ 決定的，其中利用了著名的Frobenius Theorem推導而得到，詳細可參考伊利諾伊大學香檳分校(UIUC)的Planning Algorithms課程里有關的淺顯介紹http://planning.cs.uiuc.edu/node830.html。另外之所以要求f(x)與g(x)是光滑的向量場函數，是出於保證微分方程 $dot x=f(x)+g(x)u$ 的解的唯一性(微分方程的基本結論之一)，一旦微分方程解不唯一，就無法預知系統下一刻要去哪裡。

二、與Diffeomorphism的聯繫

我們在非線性控制筆記(18)反饋線性化控制之Diffeomorphism講了微分同形。我們在input-state Linearization分析里用到Diffeomorphism的地方就是找到的狀態量的變數替換 $z=phi(x)$ ，使得 $dot z$ 與 $dot x$ 描述的是同一個系統(至少在局部區域 $Omega$ 內)，也就是z的微分與x的微分描述的是同一個系統，這就是為什麼叫微分同形。