《流形上的分析》定理11.2

05-22

《流形上的分析》定理11.2

來自專欄題和題的事

大概還是抄書，不是數學系科班生，《流形上的分析》定理有些證明過程很長，而長篇幅的證明容易打磨人閱讀的慾望，也會讓本來很簡單的東西變得張牙舞爪。所以會在這裡像分析高考題一樣，重新按順序整理這些證明的具體，從而加強記憶，也加深自己的熟練度。比如11.2，實際上也只是對微積分中所學的內容換了一種語言去表述。

啊。順便沒學過Tex......

定理11.2 令 $Q$ 是 $R^{n}$ 中的一個矩形，而 $f：Q ightarrow{R}$ 是一個有界函數；令 $D$ 是 $Q$ 中使 $f$ 為不連續的點集。那麼積分 $int_{Q}^{}{f}$ 存在，當且僅當， $D$ 為 $R^{n}$ 中的零測度集。

思路很常規，就是把測度為0的部分與其他的部分分開，每部分進行求和，相加之後滿足積分存在的黎曼條件即可。

黎曼條件指明了積分存在的要求，即： $exists P，使得對forallvarepsilon，有Uleft( f,P ight)-Lleft(f,P ight)<varepsilon；其中，{f}{:} ightarrow{R}為有界函數，Q為矩形$

（ $P$ 為 $R^{n}$ 的一個劃分， $U$ 是上和， $L$ 是下和。）

所以證明的重點在於對 $varepsilon$ 的設計。

我們設： $varepsilon^{}=varepsilon/left( 2M+2vleft( Q ight) ight)$

實際上我們的證明思路已經變成 $Uleft( f,P ight)-Pleft( f,P ight)<2Mvarepsilon^{}+2vleft( Q ight)varepsilon^{}$ ，其中左邊部分是連續的部分的體積，而右側是零測度部分的體積。

（ $M$ 是 $left| f(x) ight|leq{M}，xin{Q}$ ， $v(Q)$ 是 $Q$ 的體積）

首先構造零測度集 $D$ 的覆蓋：可以用可數個開矩形 $int(Q_{i})，i=1,2,3...$ 覆蓋之，且： $sum_{i=1}^{infty}{v(Q_{i})}<varepsilon^{}$

再構造連續集中的部分：對任何 $ain{Q-D}$ ,有開矩形 $int(Q_{ai})，i=1,2,3...$ 覆蓋之，且：因為是連續的，有 $left| f(x)-f(a) ight|<{varepsilon^{}}$ , $xin{Q_{a}cap{Q}}$ ,或寫為： $left| f(x)-f(y) ight|leq{2varepsilon^{}},x,yin{Q_{a}cap{Q}}$

而我們知道了子集族 $int(Q_{i}),int(Q_{aj}),i,j=1,2,3...$ 必然是 $Q$ 的覆蓋，於是因為矩形 $Q$ 是緊的，所以可以從 $int(Q_{i}),int(Q_{aj}),i,j=1,2,3...$ 中選出有限子族：

$int(Q_{i}),int(Q_{aj}),i=1,2,3...k;j=1,2,3...l$ 覆蓋 $Q$ 。

取 $Q_{i},Q_{aj}$ 的劃分方式，用 $P$ 表示他們各自劃分的並，就是最細的劃分。在這種劃分下，我們將 $P$ 劃分下的所有矩形 R (此處的R是指 $P$ 劃分出的所有小矩形)的子集族分為互不相交的兩類： $gamma$ 與 $gamma^{}$ ,前者的元素均在 $Q_{i}$ 內，後者的元素均在 $Q_{aj}$ 內。就這樣，我們的求和預備工作就完成了：

$sum_{Rin{gamma}}^{}{(M_{R}-m_{R})v(R)}leq{2Msum_{Ringamma}^{}{v(R)}}leq{2Mvarepsilon^{}}$

$sum_{Rin{gamma^{}}}^{}{(M_{R}-m_{R})v(R)}leq{2varepsilon^{}sum_{Ringamma^{}}^{}{v(R)}}leq{2varepsilon^{}v(Q)}$

相加充分性即證。

必要性略。

（如有錯誤和建議請務必指出來...謝謝！）