傅里葉級數(Fourier Series)

來自專欄 42以及其他

• 前言

給定一個函數f(t)，它在時域內的圖像就能很容易地被表現出來，這是人們所熟悉的思路。那麼，這個函數，能否有其他的表達方式呢？能否展開成冪級數呢？歷史上很多數學家已經探索過這個問題，這裡姑且不提。那麼除了冪指數，還有其他表示方式嗎？法國數學家約瑟夫·傅里葉提出了「任何函數都可以展開成三角級數」的猜想。

• 原始猜想

「展開成三角級數」，那麼什麼是級數呢？下面給出級數的定義：

所以，傅里葉的觀點就是是任何函數都能分解成三角函數的和的形式，而且他所說的三角函數，也並不是非常複雜的函數而是sin和cos這種函數。

其實，這算一個非常樸素的猜想，

一個簡單的三角函數，比如：

就是幅值為A，頻率為f，相角為φ的一個餘弦波。

那麼傅里葉的猜想，按人話說，就是可以把一個函數看成是各種頻率的波疊加組成的。這個猜想來源於生活，高於生活，看起來很靠譜。

這裡插播一個連接，如果你想先不管各種數學表達，最直觀的看一下傅里葉分析，請點擊這裡，傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06 - 與時間無關的故事 - 知乎專欄。對於初學者深化一些概念，這個連接交代得非常清楚。也對這位作者@Heinrich 花費大量時間寫出這篇文章表達我的敬意。

• 猜想的完善

緊接著我自己的話頭往下說。

但是仔細想想傅里葉的猜想，我們可以得到第一個質疑。波是一個周期性的從負無窮到正無窮的的函數，而我們所要進行計算的那個函數可能是有範圍的呀。

比如這樣一個函數（下面是靈魂畫手時間）：

當然按照現在的角度，利用傅里葉變換，也許也可以進行解答，但是我們目前還有另一種思路，就是把它補齊變成周期函數，然後等最後得到結果，再用數學方法，把其他補出來的部分去掉！

那麼，現在的問題就已經不再是「任何函數都可以展開成三角級數」的問題了，而是「周期函數都可以展開成三角級數」。這個命題是成立的嗎？我們依然不得而知。

假設這個猜想是成立的，那一個周期為T的函數，能夠分解成什麼樣頻率的函數呢？

我們要單獨思考一個問題，當函數y(t)如下：

那麼y(t)的周期T應該為這一系列x周期的公倍數，這應該還算是顯而易見的結論吧。那麼，反過來，如果一個周期為T的函數y(t)由一系列周期函數組成，那麼這些組成函數的周期只能是T/1, T/2, T/3…，這樣才能保證最後合成函數的周期為T。

• 猜想的給定

到此，我們可以假裝是傅里葉，把他的猜想完善後，寫出一個式子來。

根據歐拉公式

可以得到（注意：下式的xn不和之前的表示同一個值）

文字表述是：任何周期函數都能夠分解成無限個以0, ±1/T0,±2/T0±3/T0等復指數信號的和。

這個公式是對是錯呢，請聽下回分解~

（公式圖片似乎壓縮嚴重，但是算了，明天再繼續編輯吧）