定積分不等式套路總結

05-21

定積分不等式套路總結

來自專欄拾數

摘要：

暴力求導
拆分積分區間
利用泰勒展開
將常數/可導函數變形為定積分
將dx變形為d(x-c)
利用幾何意義
利用柯西不等式
幾個常用引理

正文：

一、暴力求導

通分後構造新函數求導
$egin{eqnarray*} &&eg. 設f(x)在[0,1]可微，0<f(x)<1，(forall xin (0,1))，f(0)=0，求證\ && (int_0^1 f(x) ,dx)^2>int_0^1f^3(x),dx\ end{eqnarray*}$ $egin{eqnarray*} 證明：作輔助函數 F(x)=(int_0^xf(t),dt)^2-int_0^xf^3(t),dt \ quad quadquadquadquadquadquad\ 易知F(0)=0,只需證明F(x)>0，而這易於證明。 end{eqnarray*}$

二、拆分積分區間

引入特殊點拆分

1.最值點
$egin{eqnarray*} &&eg.設f(x)在[0,1]上連續可微，f(0)=f(1)=0，求證\ &&quad 對forall tin[0,1]，都有f^2(t)leq frac{1}{4} int_0^1 [f(x)]^2,dx\ &&證明：\ &&quad 設t_0 為f^2(t)在[0,1]取最大值的點，則只需證：\ && quad f^2(t_0)leq frac{1}{4} ( int_0^{t_0}[f(x)]^2 , dx+ int_{t_0}^1 [f(x)]^2 , dx) end{eqnarray*}$
2.中值點
$egin{eqnarray*} eg.&&f(x)在[a,b]連續可微，求證 \ &&forall tin[a,b]， |f(t)| leq frac{1}{b-a}|int_{a}^{b}f(x) , dx|+int_{a}^{b}|f(x)| , dx\ &&證明：exists , xi ,in[a,b]quad s.t.|int_{a}^{b} f(x), dx|=(b-a)|f(xi)| \ &&quad quad,,,,,再將int_{a}^{b}|f(x)| , dx拆分為 int_a^xi quadint_xi^t quad int_t^b(不妨tgeqxi) end{eqnarray*}$
拆分出長度為 $m varepsilon$ 的區間
(往往用於被積函數在積分區間內函數值差異極大的時候）
(往往與n次方相關)
$egin{eqnarray*} &&eg1. int_o^{frac{pi}{2}} sin^nx ,dx= int_0^{frac{pi}{2}-varepsilon} sin^nx ,dx+ int_{frac{pi}{2}-varepsilon}^{frac{pi}{2}} sin^nx ,dx\ &&quadquad當n ightarrow +infty 時，拆分後得到的兩部分積分均趨向於0 \ &&eg2.求證lim_{n ightarrow infty}{frac{int_{omega}^{1}(1-t^2)^n , dt}{int_{0}^{1}(1-t^2)^n, dt}=0,,,(omega in (0,1))} end{eqnarray*}$
依照被積函數的正負拆分區間，使被積函數在區間內不變號
$egin{eqnarray*} eg.&&f(x)在[0,2pi]單調遞減，n為任意正整數，求證\ &&int_0^{2pi}f(x)sin(nx) ,dxgeq0 \ &&證明：將[0,2pi]拆分為[0,frac{pi}{2n}]，[frac{pi}{2n},frac{pi}{n}]……\ &&相鄰兩個區間組合+利用f的單調性和sin的對稱性\ &&Rightarrow 在[0,frac{pi}{n}]，[frac{pi}{n},frac{2pi}{n}]……內積分分別geq0\ &&推廣：f(x)在[0,2pi]上下凸，f(x)在[0,2pi]連續，\ &&則forall 正整數n，int_{0}^{2pi} f(x)cos(nx),dxgeq0 \ &&(利用分部積分+上述結論易證) end{eqnarray*}$

三、利用泰勒展開

在積分區間兩端點展開

$egin{eqnarray*} eg.&&f(x)在[a,b]連續可微，f(a)=f(b)=0，求證 \ &&max|f(x)|geq frac{4}{(b-a)^2}int_{a}^{b}|f(x)|, dx\ end{eqnarray*}$
在積分區間的中點展開
$egin{eqnarray*} eg. &&f(x)在[a,b]上二次連續可微，f(frac{a+b}{2})=0，\&&求證|int_{a}^{b}f(x), dx| leq frac{M(b-a)^3}{24}，其中M=max|f(x)|\ end{eqnarray*}$
在積分區間內最值點/導數值為0的點展開
先使用中值定理，再在所得到的中值點展開
在函數值為0的點展開
……

四、將常數/可導函數變形為定積分

$m c=int_a^b frac{c}{b-a} ,dx$
（1）
$egin{eqnarray*} &&設f(x)在[0,1]上連續可微，f(0)=f(1)=0，求證\ &&quad 對forall tin[0,1]，都有f^2(t)leq frac{1}{4} int_0^1 [f(x)]^2,dx\ &&證明：\ &&quad 設t_0 為f^2(t)在[0,1]取最大值的點，則只需證：\ && quad f^2(t_0)leq frac{1}{4} ( int_0^{t_0}[f(x)]^2 , dx+ int_{t_0}^1 [f(x)]^2 , dx)\ &&quad再分別變形 frac{1}{4}=int_0^{t_0} frac1{4t_0} , dx 及frac{1}{4}=int_{t_0}^1 frac1{4(1-t_0)} , dx end{eqnarray*}$
（2）
$egin{eqnarray*} &&eg2.f(x)在[0,1]上連續可微，求極限lim_{n ightarrow infty}{n[int_{0}^{1}f(x), dx-frac{1}{n}sum_{i=1}^{n}{f(frac{i}n)}]}\ &&（利用int_{frac{k-1}{n}}^{frac{k}{n}}, dx=frac{1}n 變形後化為積分和易證） end{eqnarray*}$
結合題設將常數變為某簡單函數的積分
（1） $m 1=int_{0}^{1}nx^{n-1} , dx$
$eg.f(x)在[0,1]上連續，證明lim_{n ightarrow infty}{nint_{0}^{1}}x^nf(x),dx=f(1)$
（2）

$egin{eqnarray*} ,,eg.&&f(x)在[0,1]連續可微，f(0)=f(1)=0，求證\ &&(int_0^1 f(x), dx)^2leq frac1{12} int_0^1[f(x)]^2, dx\ &&證明：利用 frac1{12}=int_0^1(x- frac1{2})^2 , dx end{eqnarray*}$
$m f(x)=int_c^xf(x), dx+f(c)$
（此時往往有f(c)=0的條件）

五、dx $Rightarrow$ d(x-c)

簡化分部積分後得到的項（使其中某一項得0）
$egin{eqnarray*} eg.&&f(x)在[a,b]二階連續可微，求證\ &&int_{a}^{b}f(x),dx=frac1{2}(b-a)(f(a)+f(b))+frac1{2}int_{a}^{b}f(x)(x-a)(x-b), dx\ &&證明：利用int_{a}^{b}f(x),dx=int_{a}^{b}f(x),d(x-a)=int_{a}^{b}f(x),d(x-b)，後分部積分 end{eqnarray*}$
為後續放縮搭建橋樑
$egin{eqnarray*} eg.&&f(x)在[0,1]連續可微，f(0)=f(1)=0，求證\ &&(int_0^1 f(x), dx)^2leq frac1{12} int_0^1[f(x)]^2, dx\ &&證明：利用int_0^1f(x), dx=int _0^1f(x),d(x-frac{1}2)，再分部積分 end{eqnarray*}$

六、利用幾何意義（多用於凹凸函數）

$egin{eqnarray*} eg.&& f(x)在[0,1]有連續的一階導數，f(x)geq0，f(x)leq0，定義F(x)=int_0^xf(t) , dt \ &&求證forall xin(0,1)，都有 xF(1)leq F(x) leq 2int_0^1F(t) , dt \ &&證明：\ &&易知F(x)為單增的凸函數，再利用凸函數曲線在割線的上方易證。 end{eqnarray*}$

七、利用cauchy不等式

$m quad [int_{a}^{b}f(x)g(x),dx]^2 leq [int_{a}^{b}f^2(x), dx][int_{a}^{b}g^2(x) , dx]$

$egin{eqnarray*} &&eg.（1）設f(x)在[0,1]上連續可微，f(0)=f(1)=0，求證\ &&quad 對forall tin[0,1]，都有f^2(t)leq frac{1}{4} int_0^1 [f(x)]^2,dx\ &&quad（2）f(x)在[a,b]非負可積，int_{a}^{b}f(x),dx=1，求證\ &&quad quadquad [int_{a}^{b}f(x)coskx,dx]^2+[int_{a}^{b}f(x)sinkx,dx]^2leq1 end{eqnarray*}$

八、幾個常用引理

${若 f(x)在 [a,b]可積,f(x)>0,則int_{a}^{b} f(x) ,dx >0}$
（注意這裡 $f(x)$ 不必連續）
$egin{eqnarray*} && fin R[a,b]，g在[a,b]上單調，則存在xiin[a,b]，使 \ &&int_a^bf(x)g(x),dx=g(a)int_a^xi f(x),dx+g(b)int_xi^b f(x),dx\ end{eqnarray*}$
(積分第二中值定理)
$egin{eqnarray*} eg.求證int_{n}^{n^2} frac{sinx}{x}, dx=0 end{eqnarray*}$

九、片末彩蛋=w=

$egin{eqnarray*} &&fin C^3[0,1]，f(0)=f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=f(1)=0\ &&求證(int_{0}^{1}f(x), dx)^2 leq frac{1}{100800} int_{0}^{1}|f(x)|^2 , dx end{eqnarray*}$

2018.5.14 update:

添加了二中兩道例題、四中兩道例題、八中一道例題與片末彩蛋（滑稽）

（鳴謝幫忙校對和提供彩蛋的小朋友!!!）