第41講：複雜致命結構（1）——殘缺唯一矩形

來自專欄 小向的標準數獨技巧教程

先來介紹一下，第四部分（挑戰部分）的安排。

挑戰部分的內容一共分為多個大的版塊：致命結構（唯一性技巧）、魚（鏈列）、魚雷（蜥蜴）、網（動態數組）。

我們按照這樣的順序依次為題目進行講解。

有些時候，我們在使用鏈過後會導致一些唯一矩形（UR）結構殘缺不全，但它依然是可以使用的，那麼，我們今天就從這個層面入手進行複雜致命結構的學習吧！

Part 1 標準型（Incompleted UR Type 1）

如圖所示，一般來說，這個2都是刪不掉的，但是，如果我們不小心在開頭使用鏈把r3c4(2)刪掉之後，這個唯一矩形還可以使用嗎？

唯一矩形的要求是「產生兩種互換的填法，但不影響除了可影響到的候選數2和8外的剩餘盤面」。這句話看似相當繞口，不過你如果理解了我之前講過的唯一矩形的原理，這一點我覺得你是可以理解的。

不過，在鏈刪除這個2之前，結構是完整的，所以當時就可以運用UR來刪數了，只是我們這個時候我們並沒有注意到就是了。所以當鏈刪掉這個2之後，這個8仍然是可以刪掉的。

陸仁賈問到：這個結構缺了個數，即使原本結構（UR）可以刪，也不代表殘缺的結構本身可以刪除，因為這裡卻了個數，導致無法產生兩種填法，那殘缺的結構本身還是不能刪的吧？

我：問題提得很好。我們來想一下AR的角度。AR（可規避矩形）結構在之前的說法之中，只要滿足其中一種填法，是不是就表示它炸了！

陸仁賈：「炸了」是啥？

我：……就是形成致命形式了。

陸仁賈：哦哦。那確實是，因為雖然結構當時只有一種填法，不過因為填上去之後，一定會有另外一種情況也在其中，所以還是可以得到兩種完全互換的不同結構的。

我：Bingo！這個結構就是AR的候選數版本。

陸仁賈：對哦，當我們確定了那個數是8後，隨即可以把剩餘三格全部確定下來，這不就相當於是一個AR了嘛！

我：對了！

所以說，其實效果還是一樣的，也就是說，殘缺版本的UR一樣可以用。那麼這種結構也就直接被稱為殘缺唯一矩形（Incompleted UR）。

Part 2 待定數型（Incompleted UR Type 2）

如圖所示，如果r3c1(6)和r3c8(6)同假時，r23c18形成UR致命形式。所以r3c1(6)和r3c8(6)至少有一個為真。

不管誰為真，刪掉它們的交集（交集上存在一個6都會同時使得兩個6為假，從而出錯），所以r3c23<>6。

Part 3 待定數組型（Incompleted UR Type 3）

按照原定類型3的邏輯，我們可以直接得到r1c1(2)和r1c2(4)有且僅有一個為真，從而會和r1c457三格構成2347顯性四數組，刪除其餘單元格下的候選數2、3、4、7。所以r1c6<>3。

Part 4 共軛對型（Incompleted UR Type 4）

c6有7的共軛對出現在結構的r56c6之中。而旁邊r56c7是只能填7和9的，而r56c6又有一格是7，那另外一格一定不為9，所以刪掉這裡的r5c6(9)。

Part 5 對角待定數型（Incompleted UR Type 5）

嘛，邏輯我就不用過多敘述了。r1c3(8)和r7c23(8)這三個8不可同時為假，否則出現關於5和7的UR致命形式。所以刪掉它們三個8的交集，於是自然r8c3<>8。

Part 6 平行共軛對型（Incompleted UR Type 6）

嘛，這個結構是UR？是呀。老實說，唯一一個不好看的殘缺版本就是它了。

來你看哈，首先我們發現，填入3的位置，在r3和r6之中，只有r36c79四格，恰好都在結構內。然後這樣四格必然是一個關於3的二鏈列，那麼填數最終情況一定是對角兩格填3。

• 如果r3c7和r6c9填3，那看起來沒毛病；
• 如果r3c9和r6c7填3，就有毛病了：這樣填的話，會導致r3c7和r6c9本來只有3和8的兩格都只能填8，這樣就形成了3和8的UR致命形式。所以這種情況不成立。

所以兩種情況下，只有r3c7和r6c9是3才是正確的做法，所以r3c7和r6c9都為3，自然r3c9和r6c7就不是3了。

神奇吧！殘缺到這個樣子居然還是個UR！我們只要讓我們思路下的UR結構能夠形成互換的寫法，就OK了。

Part 7 正交共軛對型（Incompleted UR Type 7）

這是最後一個類型，也稱殘缺隱性唯一矩形（Incompleted Hidden UR）。

• 如果r3c9=2，自然r3c9<>3；
• 如果r2c9和r3c6都為2，那麼r2c6為3，此時為了防止UR致命形式出現，r3c9<>3。

所以r3c9一定不為3。

Part 8 帶共軛對類型的UR觀察

好了，這裡簡單闡述一下類型4、6、7的觀察。

首先，類型4的結構如下：

abx | abx ← a的共軛對ab | ab

其中，x是其他的數字（不一定只有一個，也不一定兩格的x是一樣的），而a和b則是兩個完全不同的候選數。

總結出類型4的結構，就是：刪有共軛對那一行的b。

那我們需要的要求就只有：a的共軛對和一對只有a和b的雙值格。滿足這兩個就可以了，所以：

ax | abx ← a的共軛對ab | ab

這個結構就滿足，所以是成立的，刪除的是{abx}格的b。

類型6呢？

ab | abx ← a的共軛對abx | ab ← a的共軛對

同樣地，x表示其他無關候選數。這樣一來，刪除的則是兩個{abx}格的a。

我們總結一下，就是：對角兩格只有a和b兩個候選數，並且一定存在其中一個數的平行的共軛對關係在結構內。

那就夠刪數了。

ab | ax ← a的共軛對abx | ab ← a的共軛對

於是乎，這個例子也滿足這個要求，可以刪除（刪哪裡就自己看了哈）。

類型7：

a的共軛對↓abx | abx ← a的共軛對abx | ab

這個結構就需要滿足：某格有兩個結構內正交的同數共軛對，然後是對角單元格上只有a和b兩個候選數。

儘管這樣重新把例子梳理一遍相當愚蠢，但是有些時候用於觀察也是很好的哦！