歐拉常數的幾何意義

歐拉常數的幾何意義

自然數的增長都是以1為步長的，因為分解質因數是分解成乘法的，這種以1為步長的加法增長演算法不好描述問題，於是最好還是以乘法形式的增長率為增長演算法來看比較好，這時就發現如果以增長率為描述的話，自然數的增長率是越來越小的，在每一個數處的增長率都是這個數的倒數。這種在每個數的增長率就這個數倒數的函數（也就是導數是1/x）正好是自然對數函數。

進一步分析：

反映到圖像上：

調和級數和自然對數之間的差值就是圖像上這些綠色區域的面積和，也就是歐拉常數。從圖像上很容易證明其單調性和有界性。

這麼看歐拉常數也就是求曲線與坐標軸圍成的面積時，估算面積和真實面積之間的誤差罷了。只不過這裡估算面積時是取的dx=1。

我們完全可以取其它的步長做面積估算，比如1/2，1/3等這些更小的單位，可是很容易計算髮現這些估算面積與真實面積之差與歐拉常數只差一個有理數。那按這樣下去，取無窮小為步長時的估算面積也是只和歐拉常數差一個有理數，那時就是歐拉常數本身了，這就說明歐拉常數是有理數？
推薦閱讀：