關於複數的乘方/開方運算

05-20

關於複數的乘方/開方運算

李剛：為什麼根號負一不是i?

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= =。我不懂這篇文章有什麼好贊的。在這裡言簡意賅地說一下當乘方/開方運算被擴展到複數域時，其本質所在。

給出歐拉公式：

$extrm{e}^{ extrm{i} heta}=cos{ heta}+ extrm{i}sin{ heta}$

實際上，複數域的數可以根據歐拉公式非常簡潔地寫成

$a+b extrm{i}=sleft(cos{( heta+2kpi)}+ extrm{i}sin{( heta+2kpi)} ight)=s extrm{e}^{ extrm{i}( heta+2kpi)},kinmathcal{Z}$

其中

$s=sqrt{a^2+b^2}\ heta=arctanfrac{b}{a}$

從該式中已可以很輕易地看出，實際上，用等號左邊的表示法表示的一個數，可以對應等號右邊的表示法中的無窮多個數。這也恰恰是用等號左邊的表示法表示數時，當進行需要開方的運算時，會出現多個答案的最重要的原因。不妨說，等號左邊的表示法是不精確的。

那麼，當我們對 $a+b extrm{i}$ 進行開方運算時，會發生什麼呢？

$sqrt[n]{s extrm{e}^{ extrm{i}( heta+2kpi)}}=sqrt[n]{s} extrm{e}^{ extrm{i}frac{ heta+2kpi}{n}}=sqrt[n]{s} extrm{e}^{frac{ heta+2lpi}{n} extrm{i}+2kpi extrm{i}},l=0,...,n-1$

更為簡單的演算法是

$sqrt[n]{a+b extrm{i}}=sqrt[n]{ extrm{e}^{phi+ extrm{i}( heta+2kpi)}}= extrm{e}^{frac{phi+ extrm{i}( heta+2lpi)}{n}+2kpi extrm{i}},l=0,...,n-1\ phi=ln{s}$

由於三角函數的周期性，開n次方會有n個不同的解。

這就是複數域的開方運算的本質。= =對於原博主把這麼簡單的一個過程寫得雲里霧裡，很多地方的notation還極其不規範深感沒法忍（比如 $2/3pi$ 究竟是 $frac{2}{3pi}$ 還是 $frac{2pi}{3}$ ？）。遂有此文。