一條狗的理論力學筆記——第一章 質點運動學

來自專欄 一條狗的物理學習筆記

作為一條以後想做物理工作的狗，雖然普物學得不怎麼樣，四大力學還是要好好學的......

在此立下flag，將四大力學的內容每學完一章，做一個筆頭的總結。

平時雖然自己也有在做筆記，但是會寫下些不必要的東西，翻起來好像又太雜亂，理不出頭緒來，所以在此做一個簡短版本，方便自己查閱（沒錯，筆記本太容易丟了......）。

其中，能夠用數學語言來描述的部分盡量不用文字描述。一來為了表述簡潔，二來也為了讓自己熟悉一些Tex的數學公式和格式的編寫。

希望自己一直都可以有進步！

1、坐標系及其中體積（面積）元的表示

(1) 直角坐標系： ，體積元： .

(2) 平面極坐標系： ，面積元： .

(3) 柱面坐標系： ，體積元： .

(4) 球面坐標系： ，體積元： .

(5) 自然坐標系

2、運動學方程、軌跡、速度與加速度的定義

(1) 運動學方程：

(2) 軌跡方程：

(3) 速度：

(4) 加速度：

3、在不同坐標系下速度和加速度的分量表示方法

(1) 直角坐標系

(2) 極坐標系

速度的分量形式：

加速度的分量形式：

(3) 自然坐標系（內稟方程）

加速度的分量形式：

曲率：對於曲線 ，有 .

4、平動參考系

含義：絕對速度(加速度)=牽連速度(加速度)+相對速度(加速度)

5、Newton運動定律

(1) Newton第一定律（慣性定律）：

(2) Newton第二定律：

(3) Newton第三定律：

注意：Newton運動定律僅在慣性參考系中成立.

6、質點運動的微分方程

(1) 微分方程的形式

自由質點：

非自由質點： ，其中 為約束力.

(2) 可以求得解析解的三種形式

• 力只是時間的函數：
• 力只是速度的函數（且變數不可交叉）：
• 力只是坐標的函數（且變數不可交叉）：

7、慣性力（平動參考系中）

由於 ，

在非慣性系中的受力為 .

8、功和功率

元功：

功：

功率：

9、保守力與勢能函數

力場是保守力場的條件： ，即無旋場.

勢能和功的關係：

保守力所做的功等於質點從A到B所減少的勢能.

10、質點動力學的基本定律和基本守恆律

• 動量定理與動量守恆律
• 動量矩定理與動量矩守恆律
• 動能定理與機械能守恆律

(0) 力矩和動量矩

力矩：

動量矩（角動量）：

(1) 動量定理與動量守恆律

動量定理：

衝量定理：

動量守恆律：

(2) 動量矩定理與動量矩守恆律

動量矩定理：

衝量矩定理：

動量矩守恆定律：

(3) 動能定理與機械能守恆律

動能定理：

積分形式：

機械能守恆定律：

11、有心力：

有心力問題基本方程：

機械能守恆定律（能量積分）：

12、Binet公式

其中

13、萬有引力定律

(0) 圓錐曲線方程：

(1) 萬有引力： ，其中 為太陽的Gauss公式

(2) 軌跡方程

• 從Binet公式出發

將Binet公式中的 用萬有引力代入並解微分方程得到軌跡方程為

，

• 從有心力場出發

由機械能守恆，將勢能函數用萬有引力場的勢能函數代入並消去時間項得到軌跡方程為

，

物理含義：

14、Kepler定律

(1) Kepler第一定律：行星繞太陽做橢圓運動，太陽位於橢圓的一個焦點上.

(2) Kepler第二定律： (可由動量矩定理得到： )

(3) Kepler第三定律：

15、宇宙速度

(1) 不同軌道的衛星具有的能量

• 橢圓軌道：
• 拋物線：
• 雙曲線：

(2) 三類宇宙速度

• 第一宇宙速度：
• 第二宇宙速度：
• 第三宇宙速度： （相對太陽的速度）；考慮地球公轉、地球引力和其他行星的引力：

16、α粒子散射實驗

(1) α粒子所受的Coulomb斥力： ；在萬有引力推得的結論中，將 換成 就可以得到在Coulomb勢場中α粒子的軌跡方程.

(2) Rutherford公式：

參考文獻：

[1] 理論力學教程（第三版），周衍柏 編，高等教育出版社

[2] 南京師範大學 物理科學與技術學院 理論力學課程PPT，袁啟榮 教授

[3] 理論力學疑難及易混問題分析，賈玉江 劉雲鵬 戰永傑，東北師範大學出版社