非線性泛函分析導論（一）

來自專欄 非線性科學中的現代數學方法

1.引言

本系列文章旨在介紹【非線性泛函分析】的一些入門、導論性質的知識。讀者只需要具備本科層次的常/偏微分方程、拓撲學、複分析、實分析和線性泛函分析的基礎就可以閱讀了。如果學過了流形上的微積分和古典變分法那就更好了（以上這些內容在非線性泛函分析中都會用到）。鑒於本科泛函分析大都沒涉及Sobolev空間的知識，或者說涉及的比較少，因此在正式學習非線性泛函分析之前，還是有必要補充一下有關內容。

我們在學習【偏微分方程】、【微分幾何】或者【最優控制理論】的時候都接觸過【古典變分法】。我們知道，古典變分法與泛函極值問題基本是同義語，並且在那時，我們總是假設泛函定義在連續可微函數空間上。顯然，不論對於理論研究還是實際應用而言，這樣的假設太強、太苛刻了，並且連續可微函數空間的很多性質都非常差。現在，我們想在一個性質好得多的空間上施展變分法，這個空間必須像連續可微函數空間那樣，把函數和它的各階導數容納進來。為此，我們引入：

為什麼我們需要拓展經典導數？且看下面這個例子：

什麼是導數？導數衡量的是變化率。但是例10.1中的函數用經典導數刻畫不了函數在零點的變化率，而廣義導數可以。

從此以後，我們說導數（不加前綴）都是指廣義導數。原來數學分析中的導數我們稱為「經典導數、古典導數」。

簡單地說，Sobolev空間中的函數是這樣的函數：它，連同它的直到m階導數都屬於L^p可積函數。

對於Sobolev空間，我們特彆強調如下兩個結果：

1.Sobolev嵌入定理

我們簡要談一談對這個定理的理解：給定Sobolev空間中的一串收斂序列，那麼它們在L^r空間中按照L^r範數同樣收斂。這是其一。

其二，對於「連續嵌入」四字的理解，分析上可以得出一族重要的積分不等式：函數的L^r範數小於等於函數的W^m,p範數乘上一個常數！！！即

嵌入，本質上是把W^m,p中的一個元素恆同地放入到L^r空間中去，注意到恆同映射當然是線性的，根據本科泛函分析中線性映射的基本性質:連續與有界等價即可得出這個不等式。

2.Rellich緊性定理

這個定理對於偏微分方程、變分法來說是如此之重要，以至於再怎麼強調都不過分！本文僅就變分法來談一談。我們知道，數學分析中有條Weierstrass定理是說：R^n空間中，定義在有界閉集（緊集）上的連續函數必能取到最大值和最小值。但是對於一個定義在無限維空間上的泛函來說，這樣的條件是不夠的！事實上，對於泛函，緊集必須升級為弱緊集（弱緊集比緊集強，這個後面會說）、連續必須升級為弱連續（同理，弱連續比連續強！）才能保證泛函取到極值。緊嵌入定理在證明泛函的弱連續性、集合的弱閉性方面發揮著不可替代的重要作用。

如何理解這個定理？本科泛函分析里有條定理Eberlein-Schmulyan定理是說：自反Banach空間有界序列必有弱收斂子列。緊嵌入是指嵌入是緊映射，即：將有界集映射成列緊集。Sobolev空間是自反空間，因此Rellich緊性定理無非是說，給定Sobolev空間中一串弱收斂序列，則它們在L^r空間中按範數收斂！！！

2.可微泛函

為了直觀理解非線性泛函，我們可以類比n維空間，把無限維的Banach空間想像成一個平面（Banach空間是平直的），那麼一個泛函的等直面可以用圖表示：

當然，如果泛函的定義域是一個Banach流形，那麼它就更加地，或者說徹底地沒有線性性可言了！

為了處理非線性泛函，我們首先在無限維空間上引入相應的微分概念。

G-微分和F-微分的概念基本就是數學分析中方嚮導數和微分的直接、平行推廣。

如前文所說，弱連續比連續要強。∵ 只要Xn弱收斂，就要求F(Xn)強收斂！

如同數學分析一樣，若泛函的極值點必然是臨界點（微分拓撲中的概念，指導數為零或Jacobi矩陣退化的點，於泛函而言是指其Frechet導數為0的點）。同樣的，我們也有約束泛函極值的Lagrange乘子定理：

正則約束說的是約束條件的Jacobi矩陣非退化，從而構成一個流形。

我們試著求一個泛函的微分：

做法是不是很熟悉？事實上，這就是古典變分法里的做法！注意，

是一個由u決定的線性運算元，作用在v上！！！（導射是線性映射）

3.小綜合

我們試著綜合利用F-微分的概念、Lagrange乘子定理和Rellich的緊嵌入定理來解決一個特徵值問題。

令

容易驗證泛函I（u）是弱下半連續的。為了證明問題12.7解的存在性，我們需要證明：

這一段如果不懂，回過頭去再看一下我對Rellich緊性定理的解釋！

4.小尾聲

通過本文的鋪墊，我們大致對變分學有了一個基本的了解。但這還不夠！我們離所謂的大範圍變分法尚有很大的距離！！！（Boss終於浮出了水面）

所謂大範圍變分法，是指直接根據泛函的性質和定義域（一般是一個Banach流形）的拓撲性質判定泛函的臨界點的存在性！（這直接對應擬線性或非線性偏微分方程解的存在性）為此我們需要引入大量代數拓撲和微分拓撲的知識，其中包括上篇文章：非線性科學中的現代數學方法（一）中的拓撲度/映射度，以及疇數理論、同調論和Morse理論等等。因此……

to be continued

下回預告：可微泛函的Palais-Smale條件與Ekeland變分原理，拓撲學預備知識:映射度、流形的環繞、形變引理

心急的同學可以先行參看：米爾諾《莫爾斯理論》、張恭慶《臨界點理論及其應用》