「拋物線」斜拋運動的射程極值

05-20

「拋物線」斜拋運動的射程極值

一.一物體向右上方斜拋，起拋點與落地點高度相同.不考慮空氣阻力等因素，當拋射角為多少時，物體的射程（即物體從起拋到落地所經過的水平路程）最大，最大值為多少？

1.設

將該物體看作一點 $P$ ，設點 $P$ 的起拋點為點 $A$ $(0,0)$ ，落地點為點 $B$ ，初速度大小為 $v_0$ ，拋射角為 $alpha$ ，重力加速度為 $g$

2.分析速度與路程，求參數方程

點 $P$ 飛行時，受二個速度向量作用，一為初速度向量 $vec{v_0}$ ，二為由重力所致的速度向量 $vec{v_1}$

對 $vec{v_0}$ 正交分解

得點 $P$ 水平速度為 $v_0cosalpha$ ，豎直速度為 $-gt+v_0sinalpha$

同理，得點 $P$ 水平位移 $x=v_0cosalpha t$ ，豎直位移 $y=-frac{g}{2}t^2+v_0sinalpha t$

得點 $P$ 軌跡的參數方程 $egin{cases}x=v_0cosalpha t\[1ex]y=-frac{g}{2}t^2+v_0sinalpha tend{cases}$

3.求射程，即線段 $AB$ 長

方法1 轉化參數方程為 $y$ 關於 $x$ 的函數表達式

$ecause x=v_0cosalpha t$

$herefore t=frac{x}{v_0cosalpha}$

$egin{align} herefore y&=-frac{g}{2}(frac{x}{v_0cosalpha})^2+v_0sinalphafrac{x}{v_0cosalpha}\[1ex]&=-frac{g}{2v_0^2cos^2alpha}x^2+frac{sinalpha}{cosalpha}xend{align}$

當 $y=0$ 時， $-frac{g}{2v_0^2cos^2alpha}x^2+frac{sinalpha}{cosalpha}x=0$

$x_1=frac{2v_0^2sinalphacosalpha}{g}，x_2=0(舍)$

$herefore AB=frac{2v_0^2sinalphacosalpha}{g}$

方法2 直接通過參數方程

當 $y=0$ 時， $-frac{g}{2}t^2+v_0sinalpha t=0$

$t_1=frac{2v_0sinalpha}{g},t_2=0(舍)$

當 $t=frac{2sinalpha v_0}{g}$ 時， $x=frac{2v_0^2sinalphacosalpha}{g}$

$herefore AB=frac{2v_0^2sinalphacosalpha}{g}$

4.求射程最大值，即 $AB_{max}$

方法1 二次函數法

$ecause sin^2alpha+cos^2alpha=1$

$herefore cos^2alpha=1-sin^2alpha$

$egin{align} herefore AB&=frac{2v_0^2}{g}sqrt{sin^2alphacos^2alpha}\[1ex]&=frac{2v_0^2}{g}sqrt{sin^2alpha (1-sin^2alpha)}end{align}$

當 $sin^2alpha=frac{1}{2}$ ，即 $alpha=45°$ 時， $sin^2alpha (1-sin^2alpha)_{max}=frac{1}{4}$

$herefore AB_{max}=frac{v_0^2}{g}$

方法2 均值不等式法

$ecause 2sqrt{sin^2alphacos^2alpha}leqsin^2alpha+cos^2alpha$

$herefore 2sqrt{sin^2alphacos^2alpha}leq1$

$herefore$ 當 $sin^2alpha=cos^2alpha$ ，即 $alpha=45°$ 時， $2sqrt{sin^2alphacos^2alpha}_{max}=1$

$ecause AB=frac{2v_0^2sqrt{sin^2alphacos^2alpha}}{g}$

$herefore AB_{max}=frac{v_0^2}{g}$

方法3 二倍角公式法

$ecause sin2alpha=2sinalphacosalpha$

$herefore AB=frac{v_0sin2alpha}{g}$

當 $alpha=45°$ 時， $sin2alpha_{max}=1$

$herefore AB_{max}=frac{v_0^2}{g}$

綜上所述，當拋射角為 $45°$ 時，物體射程最大，最大值為 $frac{v_0^2}{g}$

二.一物體向右上方斜拋，起拋點與落地點高度不一定相同.不考慮空氣阻力等因素，當拋射角為多少時，物體射程最大，最大值為多少？

將該物體看作一點 $P$ ，設點 $P$ 的起拋點為點 $A$ $(0,0)$ ，落地點為點 $B$ ， $y_B=h$ （即落地點高度為 $h$ ），初速度大小為 $v_0$ ，拋射角為 $alpha$ ，重力加速度為 $g$

$egin{cases}x=v_0cosalpha t\[1ex]y=-frac{g}{2}t^2+v_0sinalpha tend{cases}$

當 $y=h$ 時， $-frac{g}{2}t^2+v_0sinalpha t=h$

$frac{g}{2}t^2-v_0sinalpha t+h=0$

$t_1=frac{v_0sinalpha+sqrt{v_0^2sin^2alpha-2gh}}{g},t_2=frac{v_0sinalpha-sqrt{v_0^2sin^2alpha-2gh}}{g}(舍)$

當 $t=frac{v_0sinalpha+sqrt{v_0^2sin^2alpha-2gh}}{g}$ 時，

$egin{align}x&=frac{v_0^2sinalphacosalpha+v_0cosalphasqrt{v_0^2sin^2alpha-2gh}}{g}\[1ex]&=frac{v_0^2sinalphacosalpha+v_0^2sinalphacosalphasqrt{1-frac{2gh}{v_0sin^2alpha}}}{g}\[1ex]&=frac{v_0^2sinalphacosalpha(1+sqrt{1-frac{2gh}{v_0^2sin^2alpha}})}{g}end{align}$

$egin{align} herefore AB&=frac{v_0^2sinalphacosalpha(1+sqrt{1-frac{2gh}{v_0^2sin^2alpha}})}{g}\[1ex]&=frac{v_0^2}{g}sqrt{sin^2alpha cos^2alpha(1+sqrt{1-frac{2gh}{v_0^2sin^2alpha}})^2}end{align}$

設 $a=sin^2alpha,b=frac{v_0^2}{g},c=frac{2gh}{v_0^2}$ ，

$herefore AB=bsqrt{a(1-a)(1+sqrt{1-frac{c}{a}})^2}$

設 $d=sqrt{1-frac{c}{a}}$ ，

$herefore a=frac{c}{1-d^2}$

$egin{align} herefore AB&=bsqrt{frac{c}{1-d^2}(1-frac{c}{1-d^2})(1+d)^2}\[1ex]&=bsqrt{c}sqrt{(frac{1}{(1+d)(1-d)}-frac{c}{(1+d)^2(1-d)^2})(1+d)^2}\[1ex]&=bsqrt{c}sqrt{-frac{c}{(1-d)^2}+frac{1+d}{1-d}}\[1ex]&=bsqrt{c}sqrt{-frac{c}{(1-d)^2}+frac{2}{1-d}-1}\[1ex]&=bsqrt{c}sqrt{-c(frac{1}{1-d}-frac{1}{c})^2+frac{1}{c}-1}end{align}$

$herefore$ 當 $frac{1}{1-d}=frac{1}{c}$ 時，

$egin{align}AB_{max}&=bsqrt{c}sqrt{frac{1}{c}-1}\[1ex]&=bsqrt{1-c}\[1ex]&=frac{v_0^2}{g}sqrt{1-frac{2gh}{v_0^2}}end{align}$

$egin{align}frac{1}{1-d}&=frac{1}{c}\[1ex]1-sqrt{1-frac{c}{a}}&=c\[1ex]a&=-frac{1}{-c+2}\[1ex]sin^2alpha&=frac{1}{-frac{2gh}{v_0^2}+2}\[1ex]sinalpha&=sqrt{frac{v_0^2}{-2gh+2v_0^2}}\[1ex]alpha&=arcsinsqrt{frac{v_0^2}{-2gh+2v_0^2}}end{align}$

$herefore$ 當 $alpha=arcsinsqrt{frac{v_0^2}{-2gh+2v_0^2}}$ 時， $AB_{max}=frac{v_0^2}{g}sqrt{1-frac{2gh}{v_0^2}}$

綜上所述，當拋射角為 $arcsinsqrt{frac{v_0^2}{-2gh+2v_0^2}}$ 時，物體射程最大，最大值為 $frac{v_0^2}{g}sqrt{1-frac{2gh}{v_0^2}}$