「阿羅不可能」證明了民主的失效嗎

昨天的預告之後，不知大家是不是對阿羅不可能定理（Arrows impossibility theorem）提起興趣了呢？阿羅教授當年獲諾貝爾獎是因為對一般均衡理論的證明——從亞當斯密開始經濟學家就隱約認為它存在但一直沒有很好地證明出來——不過他自己在回憶他的學術經歷時，首先提到的還是社會選擇理論（Social choice theory），也就是通稱的不可能定理，可見他內心的偏好。

不過這麼重要的一個發現，其實經歷了諸多波折。阿羅教授先是想到了一個問題，但總覺得已經有別人做過觀察，就放棄了。大約一年後，他不經意又注意到這個問題，正準備探討時，發現了一位英國學者在期刊上提出了相同的想法，於是又放棄了。

（這個……考慮到阿羅教授涉獵的領域如此廣泛，放棄一個看似沒希望的領域轉向其它也不是多奇怪的事情，不過還是會讓人想到

幸虧這個問題始終縈繞在阿羅教授心上，幾個月後，他終於還是重新開始研究，成為了那個堅持到底挖到寶藏的人。

在發表成果後，他才在一些人士的來函中得知了對於這個問題的早期研究。而要理清這個問題，我們也要從頭講起……當然不用故紙堆里的事情舉例子：

周末啦，為了放鬆一下，小A、小B和小C決定晚上出去吃頓好的（嗯，中國人首先想到的一定是吃……不過外國人只會去酒吧也挺無聊的）。附近他們常去的有兩家餐館，一家是茶餐廳，一家是麻辣火鍋。

小B是個川妹子，雖然上海生活多年，每過一段時間還是會覺得吃的沒味兒，想吃頓辣的。而小A來自包郵區，小C來自廣東，口味偏淡，雖然偶爾也會嘗試下重口味且覺得很好吃，但經常來還是受不了。

那麼如果三個人這時候投票的話，大多是茶餐廳勝出。

但這天小A聽說隔壁新開了一家杭幫菜館，想去嘗試一下。這三個人三個意見可就沒辦法了，於是聰明的小A提議說，這樣吧，我們對三家餐廳打分，最想去的3分，然後2分1分，看看有沒有折中的選擇。

於是：

A：杭3茶2火1；

B：火3杭2茶1；

C：茶3杭2火1。

計算一下，杭7分，茶6分，火5分。杭幫菜館勝出～

這種辦法叫做波達計數法（Borda Count），歷史上有許多人曾提出使用，曾是羅馬議會採用的投票制度之一。在1770年波達（Jean-Charles de Borda）提出用此法來選舉法國科學院時，被人以他的名字來命名此計數法。時至今日，一些國家的大選，一些比賽的最佳球員評選，仍會採用它。

然而很不幸，波達計數法剛命名不久，就遇到一個大問題……

還是剛才的場景，假設最近小C清淡吃的比較多，對重口味多了一分偏好，變成了茶3火2杭1，然後我們加總一下發現，3個餐館得分都是6分……

如果我們不用波達計數法，把它還原成偏好序列，是這樣的：

A：杭>茶>火；

B：火>杭>茶；

C：茶>火>杭。

看出來了嗎？一個杭>茶>火>杭的循環……

這就是1785年由法國孔多塞侯爵（Marquis du Condorcet）提出的孔多賽悖論。在我們日常的邏輯中，序列是有遞歸性的，比如A>B, B>C，那麼A就應該大於C，但在這個悖論里遞歸性不成立，C又大於A，而且這種情況似乎還不少見。

幾十年後，大約1860年時，海峽對岸的英國牛津準備辦理一個選舉，於是有人考慮到孔多塞悖論，提出了一些建議。當時一位名為道奇森（Charles L．Dodgson）的數學家曾宣揚過這些方案，可是這些方案並未被記錄發表。

今天我們已經無法得知，如果道奇森認真記錄並從數學角度嘗試解決，他會不會因此在學術史上有更重要的地位。不過這位數學家確實以一種奇怪的方式青史留名了。他很喜歡同事的小女兒，開心時候經常給她講童話故事。後來在同事的鼓勵下，他把這些故事集結修訂，然後用Lewis Carroll作為筆名正式出版。這個女孩叫Alice Lidell，這本書的名字叫《愛麗絲夢遊仙境》。

（中國有句古話叫「有心栽花花不發，無心插柳柳成蔭」，當然放在現代大約會被形容成「點錯了技能樹」——論在主業外培養一項愛好的重要性）

此後關於這個問題的研究少有記載，一直到我們的主人公Arrow橫空出世。

阿羅教授最終證明了，在滿足下列條件的情況下，無法通過投票做出集體決策（就像上面例子里那樣）：

1）投票人數有限

2）候選人不少於3個

3）帕累托最優（Pareto optimality）：帕累托這位義大利經濟學、政治學家也是成就頗豐，他另一項廣為人知的貢獻是帕累托法則，也就是大家常說的二八法則。

帕累托最優後來在博弈論中也被廣泛應用，解釋起來不那麼容易，在這裡的簡化版是：所有投票者都認為不存在別的候選人優於投票選出的候選人。如果這個還比較抽象，近似版是：如果投票者都認為杭幫菜最好，那麼投票結果杭幫菜也是最好，反之亦然。聽起來很合理吧。

4）」Independence of Irrelevant Alternatives （IIA)」：對任意兩個候選人，如果全體投票者都不改變他們各自對這兩個候選人的排名，那麼集體產生的投票結果也不會改變。

5）不存在dictatorship。這個dictatorship跟我們平時理解的不同，它指的是這麼一種情況：有一個投票者，不管別人怎麼投，他的選擇可以決定所有候選人的排序，他說怎樣就怎樣。這顯然是投票希望避免的，不然我們還投個啥呢對吧？

要說明的是，這個投票者的生殺大權，未必來自於身份、地位這些，可以是來自於投票中的一些特殊結構。

看起來，12345都是很合理的條件，但是阿羅就證明了，同時滿足的話，投票確定一定以及肯定不會有結果（真的）。也就是說，可憐的小A小B和小C沒有晚飯吃了……

阿羅不可能定理的證明主要有兩種。一種用到的數學很淺，但是看得人頭暈。另外一種據說很簡明，但需要對boolean algebra有一定了解（布爾代數是啥，能吃嗎……反正小磕只學過一些基礎），所以我們這裡就略過吧……

這個定理之所以重要，是因為選餐館大不了拋硬幣，選歌手球員反正粉絲會不滿意，但是有很多時候，我們只能依靠投票來決定一些事情，而且這些事情對我們很重要，比如公司股東投票，又比如，選舉。（這兩個正是當年引起阿羅關注的，所以說明阿羅不可能時最常用的例子就是選舉，也因此會跟民主聯繫在一起）

歐洲的很多大選，候選人就是三個或以上的，美國大選雖然最後只有兩個候選人，初選的時候也會有多人候選。當然美國的選舉人制也是個爭議諸多的制度。

既然他們最終選出了結果，且1）和2）肯定是滿足的，就看3）4）5）哪個沒滿足了。如果是4）不要緊，如果是5）就不是那麼美好，如果是3）的話，那勝選者上任後 "not my president"就很難避免了。

當然，阿羅不可能的所有條件還是不那麼容易滿足的，所以投票機制大多數時候還是有效的。也就是說，民主制度沒那麼脆弱。

不過還沒到可以鬆一口氣的時候。後來有證明，候選方案的個數和投票者不同偏好數越多，阿羅不可能發生的機會越大。候選方案個數可以盡量縮小，但是隨著人口的增加，投票者會越來越多，而且隨著現代社會的發展，人與人之間的分群已經越來越常見，亞文化、暗文化層出不窮，靠共同理想和目標團結人群，已經越來越困難。也就是說，不同偏好會越來越多，而非有些人以為的趨於一致。

此後對於阿羅不可能的破解方案的研究，主要有兩個方向。其一是把序數效用改為基數效用，或者說是一種增強的波達計數法。回到我們的例子，如果小A小B和小C對三家餐館打分時採用100分制，那麼他們極大概率能投出一個最佳選擇出來。缺陷在於，現實中的人離經濟學中經典的「理性人假設」差很遠。想一想，你真的能給對一家餐館的喜好打出一個精確的分數嗎？80分和70分哪個更接近？恐怕你自己也說不清。更何況每個人的標準是不同的，對於特別想去的餐館，小A可能打90分，小B可能打100分。

另一個方向是「投票交易」，也就是通過一些福利（welfare）的交換，改變投票者的偏好，從而影響投票結果。比如在上面陷入僵局後，小B說，我太想吃點辣的了，今天我買單！很可能，這事就這麼愉快地決定了（……）。可是在選舉中，這個叫做「賄選」，在其它很多場合也是不合適的。

所以我們目前看不到完美的投票制度，滿足1）和2）的投票，潛在都可能是有問題的。

但是很顯然，這只是操作層面的技術問題。你因為知識不夠，雖然一直吃健康食品，還是會有多餘的脂肪熱量攝入，然後呢，你難道因為食品不完美，轉而去吃垃圾？看到各種評論說什麼這是西方提倡民主時對民主的完美打臉，什麼民主制度並不比專治優越，小磕只能說，閣下要麼是智商有問題，要麼是思維方式有問題——思維方式有問題的意思是，不光智商有問題，情商等等其它也有問題。

讓我們以這段話結尾吧：

Democracy is the worst form of government except all those other forms that have been tried from time to time. 民主是最糟的政體，除了其它那些試過的不能用的之外。

——Winston Churchill, Speech in the House of Commons (1947-11-11)

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