夏志宏：趣味數學——分數加法 | 「點滴」專欄

來自專欄 知識分子

撰文 | 夏志宏

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上小學時很不喜歡做分數加減法，先得通分，再加減分子，一不小心就會出錯。下面是常見的錯誤：

或者，

兩道題犯了同樣的錯誤：分子加分子，分母加分母。可能你不知道，上面兩道題有時是對的，主要看你用在哪裡。在概率論里，加法通常就是這麼做的。請看下面的例子。

兩個口袋裡裝著圍棋，假定第一個口袋裡有5個黑子，6個白子，取黑子的概率是5/11；第二個口袋裡有6個黑子，3個白子，取黑子的概率是6/9。把兩個口袋放在一起，取黑子的概率就是11/20。也就是說，5/11的概率加上6/9的概率是11/20。

同樣，第二道題在概率論里也是對的。

因為概率加減法完全不符合分數加減法的基本法則，其結論也就可能違背常識，令人驚嘆。

我們還是用上面的數字。如圖，兩張桌子上各放兩口袋，

桌子甲： 口袋A，5黑子+6白子；口袋B，3黑子+4白子；

桌子乙： 口袋A，6黑子+3白子；口袋B，9黑子+5白子。

我們的遊戲是取到黑子中獎。

對於桌子甲的中獎概率，

所以口袋A中獎概率大。

對於桌子乙，

所以還是口袋A中獎概率大。

現在是見證數學魔術時刻。兩張桌子都是口袋A好，如果把兩張桌子A和A放在一起，得獎概率是

如果把B和B放在一起，得獎概率是

結論：選擇B更好，得獎概率更大！是不是有點不可思議？

你可能覺得這只是一個數學遊戲，事實上這種現象在日常生活中時有發生。

兩種新葯A、B分別在上海和北京測試，效果都是A比B好。但測試數據放在一起時，卻發現是B比A好。

美國加州大學伯克利分校有個課題組，曾研究女生在研究生錄取時是否受到歧視，其文章在《科學》（Science）[1]發表。課題組在兩組獨立數據下的結論都是女生受到歧視，但數據放在一起後發現，女生並沒有受到歧視。

在概率論里，上述現象叫辛普森悖論（Simpson』s Paradox），其基本原因就是概率加減法和我們平常加減法不同，由此衍生了很多有趣的數學問題（是的，可以寫好幾個博士論文）。看似高深的數學有時其實很簡單。

——2018.5. 深圳

加州大學伯克利分校的研究：

P. J. Bickel, E. A. Hammel, J. W. OConnell. Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley, Science 07 Feb 1975: Vol. 187, Issue 4175, pp. 398-404

DOI: 10.1126/science.187.4175.398

製版編輯：黃玉瑩 |

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