表示理論的初等介紹（1）

來自專欄 代數學課程教學的討論

毫無疑問，《高等代數》與《抽象代數》是代數學的基礎知識。

正規的大學本科數學專業必須開設《高等代數》與《抽象代數》課程，學完這兩門課之後，有些同學已經倒下了，有些同學勉強站立著，但肯定還有不少同學被代數學中的基本原理與方法吸引住了（否則，那肯定是學校的風氣出大問題了，或者這個學校的該專業，或者該專業相關老師出問題了）。

如果學會了這兩門課程的知識，就可以進一步了解代數學的比較深入的內容（更深入的探討還是留到研究生階段去做吧）。下面以表示理論為例，簡單說說這方面的大致情況。

1. 學過《抽象代數》的同學，一般情況下最先接觸的代數結構是群。一個群G涉及一個集合，一個運算，三條運算規則。群的典型例子是集合X的對稱群Sym(X)，它由集合X到其本身的所有一一變換（雙射）構成，群的乘法是映射的合成，單位元是集合X的恆等映射。

要考慮兩個群之間的關係，就要建立它們之間的同態。即，保持乘法運算的映射，這裡保持的意思是某種可換性：先運算後映射與先映射後運算的結果一致；用數學式子可以表示如下：假設f是群G到群H的映射，且 ，則稱f是群的同態。

特別地，稱抽象群G到（具體的）對稱群Sym(X)的一個同態為群G在集合X上的一個作用或一個表示（儘管表示的一般含義是在向量空間上的線性表示，下面有討論）。此時，也稱集合X為群G的模。X的子集Y稱為子模，如果Y關於群G的作用保持不變。比如，X本身是X的一個子模（稱其為平凡的子模）。如果X只有平凡的子模，稱X為單模或不可約模。此時，也稱群G在集合X上的作用是可遷的。

群G的任何表示都可以寫成一些不可約表示的不交並，這些不可約表示形如：

.

也稱它們為群G在集合X上作用的軌道（讀者可以想像一下平面上的旋轉群關於某一點的軌道，它是什麼樣的幾何圖形？）。

上述這種群在集合上的作用相對比較單純，只涉及到一個運算（群G的結構運算），一個作用（群在集合上的作用映射）。

2. 現在我們把集合X換成域F上的一個（有限維）向量空間V，從而考慮群G在向量空間V上的線性作用。這時，還需要一個具體的群（用於表示抽象的群），令GL(V)是由V的所有可逆線性變換關於合成運算構成的群（一般不可換，且無限階），稱為相應於向量空間V的一般線性群（它的子群也稱為線性群）。

群G到向量空間V的一般線性群GL(V)的同態，稱為群G的一個表示，稱向量空間V為群G的模。模V的子模是指：V的一個子空間，且在G的作用下保持不變（有點類似於高等代數中線性變換的不變子空間）。稱模V是單模或不可約模，如果V不為零，且它只有兩個平凡的子模。

群G的模V能否寫成一些不可約子模的直和？

這個問題的討論比前面介紹的群在集合上作用的情形複雜多了，因為涉及的運算多了。除了群G的結構運算外，還有向量空間V的兩個運算，以及群的作用映射。關於這方面的基本結論是下面的Maschke定理（其證明是標準的，可參考《代數選講》）：

定理 若有限群G的階不是域F的特徵的因子，則F上的任何有限維G模都可以寫成不可約子模的直和（這裡模的維數是指作為向量空間的維數）。

由於n維向量空間的線性變換的研究相當於n階矩陣的討論，上述表示也可以看成是群G的抽象元素用矩陣的表示，而不可約表示的含義是指：用階數僅可能小的矩陣表示。

上述定理中提到的子模的直和對應於：矩陣寫成准對角矩陣的形式。

關於群的表示理論：主要研究不可約表示的分類及一些相關問題。

3. 除了群之外，第二個基本的代數結構是環。一個環涉及一個集合，兩個運算及若干運算規則（一般假定環是有單位元的，但未必滿足交換律，滿足交換律的環稱為交換環）。環的主要例子有：任何域都是一個交換環，整數交換環，域上的一元或多元多項式交換環，矩陣環等（非交換環的例子）。

給定一個加法群M，可以構造一個環：令EndM為加法群M的所有群自同態構成的集合，按照通常的方式定義其加法與乘法運算，可以驗證EndM滿足環的所有條件，它是一個環，稱其為加法群M的自同態環（一般是不交換的，因為映射的合成不滿足交換律）。

環R到加法群M的自同態環EndM的環同態，稱為環R的一個表示，也稱加法群M為環R的模。模M的子模是指：M的一個加法子群，且在R的作用下保持不變（類似於上述定義的群的模的子模的概念）。稱模V是單模或不可約模，如果V不為零，且它只有兩個平凡的子模。

特別，域上的模就是我們所熟悉的向量空間；整數環上的模本質上就是加法群。另外，環R本身也可以看成R上的模。也就是說，研究環的模理論，原則上就相當於同時研究向量空間、加法群、環等。

由此可以想像模論的重要性與廣泛性，這方面的參考書比比皆是。

4. 現在我們考慮一種涉及兩個集合，更多運算及運算規則的代數結構：李代數。李代數很少出現在本科生的課程中，但李代數所涉及的基本內容是不難理解的，它只需要高等代數的知識及少量抽象代數的內容，有些大學開設的選修課中已經包含了李代數方面的內容。

什麼是李代數？通俗來講，李代數就是矩陣代數，它研究矩陣的一些運算及其運算規則。一般用M(n, F)表示域F上的所有n階矩陣構成的集合，除了矩陣通常的加法與數乘運算之外，還有一個括積運算：[A, B]=AB-BA，這裡A，B是兩個矩陣，括積[，]是指矩陣的通常乘積與減法運算的合成。它滿足

反對稱性：[A, B]=-[B, A]，

Jacobi恆等式：[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0。

矩陣的集合M(n, F)關於上述三個運算及其運算規則，構成一個李代數，稱其為一般線性李代數。如果用線性變換的語言，上述一般線性李代數也可以記為gl(V)，作為集合它由向量空間V的所有線性變換構成，運算為線性變換的加法、數乘及括積（類似於上述矩陣的括積）。

域F上的李代數L是一個向量空間，帶有一個抽象的括積運算，並滿足類似於上述矩陣或線性變換的運算的運算規則。

李代數L到向量空間V的一般線性李代數gl(V)的同態，稱為李代數L的一個表示，稱向量空間V為李代數L的模。模V的子模是指：V的一個子空間，且在L的作用下保持不變（類似於上述群G的模的子模的概念）。稱模V是單模或不可約模，如果V不為零，且它只有兩個平凡的子模。

關於李代數表示的研究：主要研究不可約表示的分類及一些相關問題。

5. 還有一些更複雜的代數結構（有時還帶有某種拓撲結構）以及相應的表示理論。比如，結合代數及其表示；Hopf-代數及其表示；代數群及其表示；頂點運算元代數及其表示等等（在《代數選講》一書中有一些初步的介紹）。

表示的通俗含義：用具體的代數對象表示抽象的代數對象，這些具體的代數對象至少包含和抽象代數對象同樣多的運算規則（才有可能實現表示）。

具體的代數對象的主要例子：向量空間及線性變換等。