分式線性遞推方程

05-19

分式線性遞推方程

如下函數被稱為分式線性函數:

$f(x) = dfrac{mx + n}{p x + q}$

分式線性函數的一個性質是兩個分式線性函數的複合依然是分式線性函數

如下的差分方程被稱為分式線性遞推方程:

$a_{n+1} = dfrac{ma_n + b}{p a_n + q}$

通常這類差分方程有兩個解法:

重點介紹第二個(第一個為課本標準方法)

我們設 $a_n = dfrac{x_n}{y_n}$

差分方程轉化為 $dfrac{x_{n+1}}{y_{n+1}} = dfrac{mx_n + ay_n}{px_n+qy_n}$

考慮一個特殊的解:

$egin{cases} x_{n+1} = mx_n + ay_n\ y_{n+1} = px_n + qy_n end{cases}$

這個解可以簡單的通過矩陣的冪來計算出來

帶回 $a_n$ 即得到通解