自旋液體 in a nutshell（二）

來自專欄 檸橘台隨筆

上篇介紹了構造自旋模型平均場的一種方法——schwinger-fermion（近來都叫Abrikosov fermionic method）方案。

第二篇進一步介紹一下其他兩種的slave-particle方案。

第三篇回顧一下PSG（projected symmetry group）方法和附帶的一些東西（flux, 平均場擬設，unbiased structure & rotation-gauge relation）。

我們知道對於heisenberg model用schwinger-fermion方式進行slave-particle手續後，變成了一個理論 that is described by 描述的費米子和一個 gauge structure，平均場附近的漲落可以表述為這個gauge structure內部的變換。因此，我們在平均場的框架下可以看到自旋液體流動的「形狀」。

事實上，對自旋算符的slave-particle方法不止一種，在這裡，我再另外簡單介紹兩種 ：bosonic method和Majorana fractionalization method。

先回顧我們的起點——海森堡反鐵磁模型：

一：bosonic method：

跟Abrikosov fermionic method類似，還是對自旋 作一下分解：

此處默認同指標求和規則， 是玻色子算符，因此它跟Abrikosov fermionic method不同在於它們滿足對易關係：

而前者則滿足反對改稱關係。

由於自旋液體態不破壞旋轉對稱（上一篇中對 的 左作用為spin rotation），我們希望得到一些不破壞自旋旋轉對稱的算符，以算符的平均值作為平均場的參數，簡單起見，取算符的二次項：

還有它們的共軛。

這個方法剩餘的下篇PSG時再說。

二：Majorana fractionalization method：

對 作以下分解：

是Majorna單態， 是Majorana三重態，

滿足majorana的反對易關係：

自旋算符：

這個slave-Majoranon方法有什麼意義呢？由上篇知道，對 左邊和右邊乘以一個 矩陣的意義是不同的： 直接是規範變換， 誘導了 自旋旋轉。我們知道自旋液體態都存在這兩種對稱性。然而 和 顯然不是相互獨立的，兩者存在unbiased structure，但無論如何，一般的自旋液體系統一定對於以下這個操作是對稱的：

這個變換隻包含一部分的自旋變換，和一部分規範變換（事實上去除了相位冗餘，見下篇）。既然如此，我們可以考慮一個特殊的把以上操作當成自旋旋轉變換並為之對稱的自旋液體態（partial (projected) spin rotation symmetric QSL，見下篇）。在這個限制下，我們可以很容易很自然地從Majorana fractionalization method得到有效平均場理論，考慮對 對稱（可以自己驗證）最一般的二次平均場哈密頓：

其中係數 是用 構造的平均場參量， 是泡利矩陣任意分量，我們再用slave Majoranon來表達：

其中 ，意不意外，驚不驚喜。原來我們丟掉一部分自旋旋轉對稱和丟掉一部分規範對稱（丟掉的是給相互帶來的相位冗餘，見下篇）並重新組合成一個新的自旋旋轉操作（projected spin rotation，見下篇）可以得到由類Majoranon的准粒子描述的有效理論，系統的gauge structure事實上破缺為 （原因可從unbiased structure清楚看到，見下篇） 。