分析和代數原理(7)

05-19

分析和代數原理(7)

來自專欄物理學原理概述

無窮維線性空間

從現在開始，我們研究的線性空間都是無窮維的，若不作特別的說明。要指出，前面的很多成果都是對無窮維線性空間適用的。

稱線性空間的一個向量組是線性無關組，若它的任意有限子組線性無關。稱內積空間(Euclidean空間)的一組基是完備的，若這組基的線性包的閉包是全空間。

凸集，凸泛函

稱從線性空間映到實數或複數域上的映射是泛函。映到複數域上的泛函實際上是兩個映到實數域上的泛函，只要把它的實部和虛部分開。若泛函還是齊次可加的，即 $f(lambda x+mu y)=lambda f(x)+mu f(y)$ ，則被稱為線性泛函。若它是共軛齊次可加的，即 $f(lambda x+mu y)=overlinelambda f(x)+overlinemu f(y)$ ，則被稱為半線性泛函。

稱 $p:X omathbb{C}$ 是複數域上的線性空間 $X$ 上的齊次凸泛函，若 $forall x,yin X,forall lambdain mathbb{C}$ ， $p(x+y)leqslant p(x)+p(y)$ ， $p(lambda x)=|lambda|p(x)$ 。易看出範數是正定齊次凸泛函。

定理(Hahn-Banach) $f_0:X_0 omathbb{C}$ 是定義在子空間 $X_0subset X$ 上的線性泛函，若存在複數域上的線性空間 $X$ 上的齊次凸泛函 $p$ 使 $forall xin X_0$ ， $|f_0(x)|leqslant p(x)$ ，那麼存在 $f:X omathbb{C}$ 使 $forall xin X,|f(x)|leqslant p(x)$ ， $forall xin X_0, f(x)=f_0(x)$ 。

稱定理中的 $f$ 是 $f_0$ 在 $X$ 上的延拓。這個定理的證明需要用到選擇公理的等價命題Zorn引理。但這不在我們關心的範圍內。

稱實數域上的線性空間 $X$ 的子集 $U$ 是凸集，若 $forall x,yin U,foralllambdainmathbb{R}$ ， $(lambda x+(1-lambda )y)in U$ ，其中 $lambdaleqslant 0$ 。稱包含一個集合的最小的凸集是它的凸包。稱 $J(U)$ 是凸集 $U$ 的核，若 $forall yin X$ ， $exists delta>0$ 使 $forall |t|<delta,tinmathbb{R}$ ， $exists xin J(U)$ 滿足 $(x+ty)in U$ 。核非空的凸集被稱為凸體。

引用Hahn-Banach定理可以證明：

命題集合 $M$ 和 $N$ 是實數域上線性空間 $X$ 中的凸集，並且至少其中之一的核與另一個集合不相交，則存在實線性泛函 $f$ 和 $Cinmathbb{R}$ ，使 $forall xin M,f(x)geqslant C$ ， $forall xin N,f(x)leqslant C$ ，並且 $mathrm{Im}f eleft{ 0 ight}$ 。

完備正交基

現在我們來研究Euclidean空間中的正交組。關於無窮維線性空間中的正交組，有如下命題：

命題 $x_1,cdots,x_n,cdots$ 是Euclidean空間 $X$ 中的線性無關組，那麼存在 $X$ 中的向量組 $e_1,cdots,e_n,cdots$ 使 $e_i$ 是正交組，並且 $x_i$ 和 $e_i$ 可以相互用線性組合表示。

稱拓撲空間是可分的，若空間中存在可數稠密集。Hausdorff空間都是可分的。

定理 可分Euclidean空間或者完備Euclidean空間中有標準正交基。

在Euclidean空間 $X$ 中取任意正交組 $e_k$ ， $fin X$ ，稱 $c_k=(f|e_k)$ 是 $f$ 關於 $e_k$ 的Fourier係數，而 $sum_{k}{c_ke_k}$ 是 $f$ 關於 $e_k$ 的Fourier級數。

命題(Bessel) $forall n$ ， $sum_{k=1}^{n}{c_k^2}leqslantlVert f Vert^2$ 。

這個命題表明級數 $sum_{k=1}^{infty}{c_k^2}$ 收斂。稱標準正交組 $e_k$ 是封閉的，若 $forall fin X$ ， $sum_{k=1}^{infty}{c_k^2}=lVert f Vert^2$ 。

定理(Riesz-Fisher) $e_k$ 是完備Euclidean空間 $X$ 中的標準正交基， $c_kinmathbb{R}$ 使 $sum_{k=1}^{infty}{c_k^2}$ 收斂，那麼存在 $fin X$ 使 $c_k=(f|e_k)$ 且 $sum_{k=1}^{infty}{c_k^2}=lVert f Vert^2$ 。

強拓撲，弱拓撲

稱拓撲空間 $X$ 是線性拓撲空間，若 $X$ 也是線性空間，並且加法和數乘關於拓撲連續。這個空間是賦范空間的一般化，它有拓撲和線性結構，但是沒有範數。一類很重要的線性拓撲空間是局部凸線性拓撲空間。稱線性拓撲空間是局部凸的，若它的任意非空開集都有非空凸開子集。線性拓撲空間的等價類顯然是用線性連續函數來界定的。這時我們討論的線性連續泛函，都是從線性拓撲空間映到實或復域 $K$ 上的。一個顯而易見的論斷是，定義在線性拓撲空間上的線性泛函在某一點連續當且僅當它在全空間上連續。

在引入賦范空間時，已經給出了多重線性運算元的範數。現在，對於賦范空間上的線性連續泛函，我們把這個範數 $lVert f Vert=sup_{x e0}frac{|f(x)|}{|x|}$ 原封不動地搬過來，只是多重變為了一重。這樣，賦范空間就有了賦范的對偶空間。稱這個範數引入的拓撲是對偶空間中的強拓撲。

命題 任意賦范空間的按強拓撲賦范的對偶空間是Banach空間。

可以驗證強拓撲對偶空間必定是局部凸的，而且還是第一可分的。所謂第一可分，即對任意兩不同點 $x,yin X$ ，存在 $O(x)subset X$ 不包含 $y$ ，同時存在 $O(y)$ 不包含 $x$ 。我們把Hausdorff空間說成是第二可分的。另外還有第三可分，若對任意一點與不包含它的閉集，存在點的鄰域和閉集的鄰域且兩鄰域不相交。若拓撲空間同時是第一可分和第三可分的，就稱它是正則拓撲空間。正則拓撲必定是第二可分的。而之前定義的正規拓撲空間，有時說稱第四可分。

現在考慮線性拓撲空間 $X$ 上的所有連續泛函，取有限多個這樣的泛函 $f_i$ ，且 $forall varepsilon>0$ ，那麼 $left{ x|space|f_i(x)|<varepsilon ight}$ 是開子集。這個集合包括0，從而它是0的鄰域 $O(0)$ ；而對 $forall xin X$ ， $O(0)+x$ 顯然是 $x$ 的鄰域。這樣就得到一個拓撲，稱這個拓撲是線性拓撲空間的弱拓撲。對線性拓撲空間 $X$ 中的點列 $left{ x_n ight}$ ，若任意的線性連續泛函 $varphi(x)$ 使 $left{ varphi(x_n) ight}$ 收斂於 $varphi(x_0)$ 其中 $x_0in X$ ，則稱 $left{ x_n ight}$ 弱收斂於 $x_0$ 。

命題 $left{ x_n ight}$ 是賦范空間中的弱收斂點列，則 $exists M>0$ 使 $lVert x_n Vertleqslant M$ 對 $forall n$ 。

對於線性拓撲空間 $X$ 的對偶空間 $X^*$ ，它既能被看做是普通的線性拓撲空間，又能被看做是對偶空間。當把它當作對偶空間時，引入弱收斂：點列 $left{ varphi_n ight}$ 弱*收斂到 $varphiin X^*$ ，若 $forall xin X$ ， $varphi_n(x) ovarphi(x)$ 。這樣，二次對偶空間 $X$ 上就同時有了弱收斂和弱*收斂。

命題 若局部凸線性拓撲空間 $X$ 是自反的，即存在同構同胚映射 $pi : X o X^{**}$ ，則 $X$ 中的弱拓撲和弱*拓撲等價。

與弱收斂相對，賦范空間中依範數定義的收斂，即 $lVert x_n-x Vert o0$ ，被稱作強收斂。

命題 賦范空間中強收斂的點列必定弱收斂。