自旋液體 in a nutshell（一）

來自專欄 檸橘台隨筆

先說Heisenberg model的隸玻色子（slave-boson）方法。

這個方法現在成了一個泛指，甚至有時候壓根不會出現玻色子算符，所以後來一些文章上出現了指明slave-XXX （如slave-rotor，slave-fermion）或者索性叫slave-particle方法。

這個方法涉及到一個這樣的操作，它把系統的哈密頓量用一堆新的算符（由這些算符描述的粒子叫slave粒子）重寫，結果原來的算符就被分解成這堆新算符的乘積或者多項式，然後重新構建一個Fock空間。一般這個新的Fock空間與原來算符的態空間相比會有冗餘，然後我們可以通過投影算符來構造態的多對一的映射。

阻挫存在的時候，系統基態簡併度極大，量子漲落也極大，低能態張成的空間是hilbert空間的一個「角落空間」，T=0k時，系統不能凍結到一個態上，而是在這個「角落空間」里亂竄(driven by quantum fluctuation mainly)，顯示出了磁無序性，物質形態是流動的，故此叫自旋液體。用現在的拓撲相理論去看這個物理圖像的話，這個「角落空間」也可能分成若干個不能通過局域漲落互相tunnel的部分，這些區分了不同的量子液體相。

令人著迷的是，slave粒子會在退禁閉相下被激發出來，並通過冗餘衍生的規範場互相作用著。我們先看看描述這個slave粒子的模型是怎麼得出的。

對於反鐵磁Heisenberg模型：

對於上面哈密頓量，我們可以把自旋算符作以下分解（Schwinger-Fermion 方法）：

這其中 是pauli矩陣a分量的矩陣元， 和 是狄拉克旋量，對旋量進行 變換會誘導原來自旋算符 的空間轉動。旋量里的 都是費米子算符，給定一個真空 ，那麼單格點上的Fock空間基可以由費米子作用於真空得出：

與原來單格點自旋第三分量 的態空間有以下對應(對應方式並不唯一)：

: reduncdency.

接著，我們把費米算符寫成以下矩陣形式：

它的列向量是 ，橫向量 我們叫規範二重態，則原來的自旋算符就寫成：

這種表示與原來的 對比有 的冗餘空間的，即對 （右作用，相當於對規範二重態 進行 gauge變換），原來的自旋的算符 無動於衷，另外左作用 則會誘發 rotation變換，即自旋旋轉。

我們可以把Heisenberg model寫成費米子算符表示的形式：

我們對它做一個Hubbard-Stratonovich變換，我們可以得到系統的拉格朗日量：

是拉格朗日乘子，在這裡充當自旋子的化學勢 ， 的1,2,3分量是泡利矩陣，0分量是單位矩陣。其中做了能量為 的平均場處理：

我們可以在局域的規範變換下,

拉格朗日量不變，這個局域規範變換比較現實的意義在於：在平均場處理的框架下存在平均場附近的漲落。

到這裡，slave費米子的手續業已完成，我們看到簡單的Heisenberg（硬核玻色子）模型在Schwinger-Fermion表述下擁有一個 的規範結構和由 描述的slave費米子。然而這只不過是做了一個數學形式的變換，而這些費米子會在什麼時候被解禁閉出來，成為可被觀測的准粒子呢？它怎麼體現自旋液體的自旋旋轉對稱性呢？漲落又是什麼呢？這些是我們進一步考慮的問題。

最後說一說，我們看到這些slave費米子是原來算符的部分子化（partonization）得到的，然而它並不真正是通過對自旋再分的部分，而是集體激發的低能有效描述。因此這裡體現一個奇妙的哲學思想：集體激發衍生出個體的部分。日後我會從範疇論談談這個事情。