Adele and idele (1)

05-19

Adele and idele (1)

來自專欄數論筆記

（一）adele 與 idele 的定義

在代數數論中，我們希望把局部對象「粘」在一起來推導出整體對象的性質。把局部「粘」在一起得到的東西就是adele ring和idele group。可以從下面的例子入手。

取一個有理數例如 $a=2^{2}3^{-3}7^{31}$ ， $ainmathbb{Z}_{p},p e3$ ,也就是說 $a$ 可以看作是 $prod_{p e3}mathbb{Z}_{p} imesmathbb{Q}_{3} imesmathbb{R}$ 中的元素。於是我們發現 $mathbb{Q}$ 可以「對角」嵌入到下面這個集合里： $mathbb{A}_{mathbb{Q}}={(a_{v})_{v}inprod_{v}mathbb{Q}_{v}| ext{for all but finitely many finite primes} ~v~ ext{of}~mathbb{Q},a_{v}inmathbb{Z}_{v}}$

對角嵌入為 $mathbb{Q} ightarrowmathbb{A}_{mathbb{Q}}:xmapsto(...,x,x,x...)$

$mathbb{A}_{mathbb{Q}}$ 就稱為 $mathbb{Q}$ 的adele ，事實上可以對任意一個整體域做類似的事情。設 $K$ 是一個整體域（比如代數數論里關心數域），定義它的adele ring為：

$mathbb{A}_{K}={(a_{v})_{v}inprod_{v}K_{v}~|~ ext{for all but finitely many finite primes} ~v~ ext{of}~K,a_{v}in O_{v}}$

同時也可以定義它的idele group：

$mathbb{I}_{K}={(a_{v})_{v}inprod_{v}K_{v}^{ imes}~|~ ext{for all but finitely many finite primes} ~v~ ext{of}~K,a_{v}in O_{v}^{ imes}}$

為什麼要把局部對象「粘」在一起呢？簡單的說，局部對象有更好地拓撲性質，譬如 $mathbb{Q}_{p},K_{v}$ 都是局部緊的，完備的； $mathbb{Z}_{p},O_{v}$ 分別是它們的緊開子群。而局部緊的拓撲群上可以定義Harr measure，上面可以做analysis，於是算術結構上就有了分析工具。當我們定義出來adele和idele以後，我們希望它也具有局部緊的結構，這樣當我們把整體域嵌進去以後，就可以通過adele，idele的拓撲性質來反映與整體域相關的一些代數結構的性質，譬如理想類群（類數有限）和單位群（單位定理）。

（二）adele 與 idele 上的拓撲

如果我們希望得到局部緊拓撲，最直接的辦法就是把每一點的緊領域找出來，這樣再來看下面的構造就很自然。

首先我們把adele，idele歸結於限制乘積（restricted product）。一般地，給出了一族局部緊群 $(G_{v})_{vin Lambda}$ , $S$ 為 $Lambda$ 的有限集合，對每個 $vinLambda-S$ 指定 $G_{v}$ 的緊開子群 $U_{v}$ 。定義 $(G_{v})_{vin Lambda}$ 關於 $(U_{v})_{vin Lambda}$ 的限制乘積為：

${prod_{vinLambda}}^{prime}G_{v}={(x_{v})inprod_{vinLambda}G_{v}~|~ ext{for all but finitely many}~vinLambda-S,x_{v}in U_{v}}$

例如 $K$ 的idele group： $S$ 取 $K$ 的所有無限的素點構成集合， $G_{v}=K_{v}^{ imes},U_{v}=O_{v}^{ imes}$ 。

對於每個包含 $S$ 的 $Lambda$ 的有限子集 $T$ ,考慮限制乘積的子集（稱之為 $T- ext{ideles}$ ）：

$G(T)=prod_{vin T}G_{v} imesprod_{vinLambda-T}U_{v}$ ，於是 ${prod_{vinLambda}}^{prime}G_{v}=igcup_{T}G(T)$ ，這裡的 $T$ 遍歷所有包含 $S$ 的 $Lambda$ 的有限子集。在每一個 $G(T)$ 上賦予乘積拓撲，由Tychonoff乘積定理可知 $prod_{vinLambda-T}U_{v}$ 緊，其次有限乘積 $prod_{vin T}G_{v}$ 保持局部緊。對於限制乘積的子集 $V$ ，定義它為開集，如果存在 $T$ 使得 $Vcap G(T)$ 是 $G(T)$ 中的開集。由此限制乘積里任何一個元素都落在某個 $G(T)$ 裡面，它有一個局部緊領域為 $prod_{vin T}H_{v} imesprod_{vinLambda-T}U_{v}$ ，其中 $H_{v}$ 為 $G_{v}$ 的緊開子群。於是限制乘積就具有了局部緊拓撲。

同時由上面的定義，可以確定出restricted product的一組拓撲基。例如對於 $mathbb{I}_{K}$ ,它的基為：

${prod_{v}U_{v}~|~U_{v}~ ext{open in}~K_{v}^{ imes}~ ext{for all}~v,U_{v}=O_{v}^{ imes}~ ext{for all but finitely many}~v}$

還可以找到 $1$ 的領域基：對於每個素點構成的有限集 $Ssupset S_{infty}$ （ $S_{infty}$ 為 $K$ 的所有無限素點構成的集合）以及 $varepsilon>0$ ，定義：

$U(S,varepsilon)={(a_{v})~|~|a_{v}-1|_{v}<varepsilon,vin S,|a|_{v}=1,v otin S}$

那麼 ${U(S,varepsilon)~|~S,varepsilon}$ 就是 $1$ 的領域基。

（三）idele class group 與 ideal class group，Ray class group

定義 $K$ 的idele class group為 $C_{K}=mathbb{I}_{K}/K^{ imes}$ 。我們要把理想類群用idele class group以特定形式表示出來，這樣一來就具有拓撲結構，比如我們可以證明上面具有緊且離散的拓撲，那麼它就是有限的，自然就得到了類數有限這個定理。

理想類群 $Cl(K)$ 的初始定義為：分式理想 $I(K)$ /主分式理想 $P(K)$ ，而主分式理想實際上是 $K^{ imes}$ 嵌入到分式理想 $I(K)$ 中的像。於是 $Cl(K)= ext{Coker}(K^{ imes} ightarrow I(K))$ 。

現在把它和idele class group聯繫到一起，這隻需要下面的一些觀察：

（1） $I(K)$ 是 $K$ 的有限素點上的自由Abel群，於是 $I(K)simeqigoplus_{v otin S_{infty}}mathbb{Z}simeqigoplus_{v otin S_{infty}}K_{v}^{ imes}/O_{v}^{ imes}$ ，這裡 $S_{infty}$ 代表 $K$ 的所有無限素點。後面那個同構通過由 $ext{ord}_{v}:K_{v}^{ imes} ightarrowmathbb{Z}$ 得到。

（2） $igoplus_{v otin S_{infty}}K_{v}^{ imes}/O_{v}^{ imes}simeqmathbb{I}_{K}/mathbb{I}_{K,S_{infty}}$ ,這裡 $mathbb{I}_{K,S_{infty}}$ 即 $S_{infty}-class$ ： $mathbb{I}_{K,S_{infty}}=prod_{vin S_{infty}}K_{v}^{ imes} imesprod_{v otin S_{infty}}O_{v}^{ imes}$ 。這個同構可以由映射 $mathbb{I}_{K} ightarrowigoplus_{v otin S_{infty}}K_{v}^{ imes}/O_{v}^{ imes}$ 得到（顯然其 $ext{kernel}$ 等於 $mathbb{I}_{K,S_{infty}}$ ）。

於是我們得到 $Cl(K)= ext{Coker}(K^{ imes} ightarrow mathbb{I}_{K}/mathbb{I}_{K,S_{infty}})$ ，注意到 $mathbb{I}_{K}$ 先mod掉誰都是一樣的，那麼我們就有 $Cl(K)=C_{K}/overline{mathbb{I}_{K,S_{infty}}}$ ，這裡 $overline{mathbb{I}_{K,S_{infty}}}$ 是 $mathbb{I}_{K,S_{infty}}$ 在 $C_{K}$ 中的像。

這也就是說，一旦我們可以證明 $C_{K}/overline{mathbb{I}_{K,S_{infty}}}$ 是緊且離散的，那麼類數就是有限。所以我們就可以把目光放在 $C_{K}$ 及其相關的一些子群、商群的拓撲性質上面。（這些證明放在以後）

Ray class group是代數數論中另一個很重要的群。這裡僅僅粗略的說一下原因，素理想在擴域 $L/K$ （class field theory只考慮abelian extension）中的分解情況可以被Galois群 $ext{Gal}(L/K)$ 反映出來（參見：素理想在擴域中的分解(1)）。一個很重要的例子是 $mathbb{Q}$ 的Abel擴張，Kronecker定理是說有理數域的任一個abelian extension都包含在某個分圓域裡面。而對於分圓域，素理想怎麼分解的是相對「清晰」的，也就下面的定理：

定理. 若 $p$ 是不整除 $N$ 的素數，則 $p$ 在 $L=mathbb{Q}(zeta_{N})$ 中非分歧。若 $p$ 在 $ext{Gal}(L/mathbb{Q})simeq(mathbb{Z}/Nmathbb{Z})^{ imes}$ 的階為 $f$ ，那麼 $p$ 在 $mathbb{Q}(zeta_{N})$ 分解為 $varphi(n)/f$ 個素理想。

在這裡，相對而言比較「invisible」的Galois group變成 $(mathbb{Z}/Nmathbb{Z})^{ imes}$ 就「visible」了。這樣一來 $p$ 怎麼分解就是由 $p~ ext{mod}~N$ 決定的，也就是說我們用一個「看的見」的群去反映了素理想在擴域怎麼分解。然而後面會說明 $(mathbb{Z}/Nmathbb{Z})^{ imes}$ 是一個Ray class group，那也就是說Ray class group相對Galois group更加「visible」。而class field theory（數域的）在一定程度上就是要用「看的見」的idele class group（Ray class group）在某種意義下去反映Galois group，進而像上面的定理那樣去反映素理想在擴域怎麼分解。

Ray class group一個比較自然的定義是，給定某個理想 $mathfrak{m}$ ，讓理想類群滿足其元素和 $mathfrak{m}$ 互素。（還要加一個totally positive，後面說明）為了達到這個目的，定義新的分式理想：

$I(mathfrak{m})={mathfrak{a}~ ext{fractional ideal}|mathfrak{a}=mathfrak{b}mathfrak{c}^{-1}~ ext{and}~mathfrak{b},mathfrak{c}~ ext{are integral ideals that coprime to}~mathfrak{m}}$

以及新的主分式理想：

$P(mathfrak{m})={(alpha)|alpha=bc^{-1}, ext{nonzero}~b,cin O_{K}~ ext{and coprime to}~mathfrak{m},bequiv c~ ext{mod}~mathfrak{m},alpha~ ext{is totally positive}}$

這裡totally positive的意思是在每個實素點下為正。現在定義關於 $mathfrak{m}$ 的Ray class group：

$Cl(K,mathfrak{m})=I(mathfrak{m})/P(mathfrak{m})$ 。現在我們把它和idele group聯繫在一起：

（1）首先像在理想類群做的那樣，把 $P(mathfrak{m})$ 寫成 $K^{ imes}$ 的某個子群在 $I(mathfrak{m})$ 中的像，這個子群正是： $ext{Ker}(K^{ imes} ightarrowigoplus_{vin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m}))$ ，這裡 $S$ 是整除 $mathfrak{m}$ 的有限素點和 $K$ 的無限素點構成的集合；如果 $v$ 是有限素點並且在 $S$ 中，則 $U_{v}(mathfrak{m})$ 定義為 $ext{Ker}(O_{v}^{ imes} ightarrow(O_{v}/mathfrak{m}O_{v})^{ imes})$ ；若 $v$ 是有限素點但不在 $S$ 中，則定義為 $O_{v}$ ；如果 $v$ 是復素點，則定義為 $K_{v}^{ imes}$ ；如果 $v$ 是實素點，則定義為 $K^{ imes}_{v}$ 中的正元。並且 $U(mathfrak{m})=igoplus_{v} U_{v}(mathfrak{m})$ 。這個寫法很自然——它把「totally positive」和「與 $mathfrak{m}$ 互素」的局部體現表示了出來。我們考慮下面這個定義，和理想類群類似： $ext{Coker}(K^{ imes} ightarrowmathbb{I}_{K}/{U(mathfrak{m})})=C_{K}/overline{U(mathfrak{m})}$

（2） $I(mathfrak{m})$ 是 $v otin S$ 上的自由Abel群，即 $I(mathfrak{m})simeqigoplus_{v otin S}mathbb{Z}simeqigoplus_{v otin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m})$ ，後面的同構是因為當 $v$ 不屬於 $S$ 時， $U_{v}(mathfrak{m})=O_{v}^{ imes}$ ，再次由 $ext{ord}_{v}:K_{v}^{ imes} ightarrowmathbb{Z}$ 得到。那麼一開始的定義： $Cl(K,mathfrak{m})=I(mathfrak{m})/P(mathfrak{m})= ext{Coker}( ext{Ker}(K^{ imes} ightarrowigoplus_{vin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m})) ightarrowigoplus_{v otin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m}))$ 。

（3）我們要說明兩種定義等價的：

$ext{Coker}( ext{Ker}(K^{ imes} ightarrowigoplus_{vin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m})) ightarrowigoplus_{v otin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m}))simeq ext{Coker}(K^{ imes} ightarrowmathbb{I}_{K}/{U(mathfrak{m})=igoplus_{v}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m}}))$

這裡簡單的說一下證明思路：

把 $K^{ imes}$ 記成 $G$ ， $igoplus_{vin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m})$ 記成 $H_{1}$ , $igoplus_{v otin S}K_{v}^{ imes}/U_{v}(mathfrak{m})$ 記成 $H_{2}$ ；以及映射 $f_{1}:G ightarrow H_{1}$ ， $f_{2}:G ightarrow H_{2}$ ， $h=f_{1}oplus f_{2}:G ightarrow H_{1}igoplus H_{2}$ ， $g: ext{Ker}f_{1} ightarrow H_{2}$ 。那麼也就是要證：

$ext{Coker}g= ext{Coker}h$ ，這裡注意到兩個事實：利用weak approximation可以說明 $f_{1}$ 是滿射；在 $f_{1}$ 是滿射時， $ext{Coker}f_{2}= ext{Coker}h$ 。然後畫出交換圖即可看出。