從矩陣的角度來看待複數

05-19

從矩陣的角度來看待複數

定義

使

$1=egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}, i=egin{bmatrix} 0 & -1\ 1 & 0 end{bmatrix}$

那麼對於任何實數a，有

$a=egin{bmatrix} a & 0 \ 0&aend{bmatrix}$

對於純虛數bi，有

$bi=egin{bmatrix} 0&-b \ b& 0 end{bmatrix}$

對於一般的a+bi，有

$a+bi=egin{bmatrix} a& -b\ b& a end{bmatrix}$

很明顯，這是一個正交的矩陣。

運算

複數加法，看成矩陣的加法就可以了：

$(a+bi)+(c+di)= egin{bmatrix} a& -b \ b& a end{bmatrix} +egin{bmatrix} c&-d\ d&c end{bmatrix} =egin{bmatrix} a+c& -b-d \ b+d& a+c end{bmatrix} =(a+c)+(b+d)i$

減法與加法類似。

複數乘法，看成矩陣的乘法： $(a+bi)(c+di)=egin{bmatrix} a& -b\ b& a end{bmatrix} egin{bmatrix} c& -d\ d& c end{bmatrix} =egin{bmatrix} ac-bd&-ad-bc\ bc+ad&-bd+ac end{bmatrix} =(ac-bd)+(ad+bc)i$

共軛複數，其實就是把矩陣轉置一下：

$a-bi=egin{bmatrix} a& b \ -b&a end{bmatrix}$

一對共軛複數乘積為實數：

$(a+bi)(a-bi)=egin{bmatrix} a& -b \ b& a end{bmatrix} egin{bmatrix} a&b\ -b&a end{bmatrix}$

$=egin{bmatrix} a^2+(-b)^2&ab-ba\ ba-ab&b^2+a^2 end{bmatrix} =egin{bmatrix} a^2+b^2&0\ 0&a^2+b^2 end{bmatrix} =a^2+b^2$

交換律

對於

$M=egin{bmatrix} ac-bd&-ad-bc\ bc+ad&-bd+ac end{bmatrix}$

這個矩陣，如果同時交換a和c，b和d，那麼就會得到：

$egin{bmatrix} ca-db&-cb-da\ da+cb&-db+ca end{bmatrix} =egin{bmatrix} ac-bd&-ad-bc\ bc+ad&-bd+ac end{bmatrix} =M$

因此複數乘法是有交換律的。

對於任何複數，可以作以下變換：

$egin{bmatrix} a& -b\ b& a end{bmatrix} =sqrt{a^2+b^2}egin{bmatrix} a/sqrt{a^2+b^2}& -b/sqrt{a^2+b^2}\ b/sqrt{a^2+b^2}& a/sqrt{a^2+b^2} end{bmatrix} ightarrow$

$r=sqrt{a^2+b^2},cos heta=a/r,sin heta=b/r ightarrow$

$regin{bmatrix} cos heta& -sin heta\ sin heta& cos heta end{bmatrix}$

後面是一個旋轉矩陣。

對於2個不同的複數： $egin{bmatrix} a& -b\ b& a end{bmatrix} egin{bmatrix} c& -d\ d& c end{bmatrix} =r_1r_2egin{bmatrix} cos heta& -sin heta\ sin heta& cos heta end{bmatrix}egin{bmatrix} cosphi& -sinphi\ sinphi& cosphi end{bmatrix} =r_1r_2egin{bmatrix} cos( heta+phi)& -sin( heta+phi)\ sin( heta+phi)& cos( heta+phi) end{bmatrix}$

從中可以看出兩個複數相乘，可以視為模相乘，輻角相加。

由於實數乘法有交換律，二維旋轉矩陣乘法有交換律，因此複數乘法有交換律。

模與行列式

二階行列式的求法如下：

$egin{vmatrix} A & B\ C & D end{vmatrix} =AD-BC$

應用到複數所對應的矩陣之中：

$egin{vmatrix} a& -b \ b& a end{vmatrix} =egin{vmatrix} a& b \ -b& a end{vmatrix} =a^2+b^2$

行列式表示平面圖形經過這個矩陣變換後與變換前的面積之比，因此複數的模長就是矩陣行列式的值的平方根。