Big Rudin閱讀記（Chpt 3&4）

來自專欄 qsss sss的數學學習筆記第三章是$L^p$ spaces，大多數在概率論里學過，簡要講一下：

1.Convex functions and inequalities

這一部分沒什麼花頭，主要是幾個不等式的證明比較巧妙，之前在數分里學到Holder不等式的時候那個證明很醜，構造的凸函數很不直觀，這裡用指數函數來構造則簡潔明了。這兩個不等式是Lp空間的基礎

2.Lp空間

Lp和lp空間的定義很好理解，就是把剛剛的不等式拿來做metric space，對於無窮大的p也可以用essential supreme定義類似的東西。還有要注意的是我們會把距離為0的函數類給商掉，實際上Lp空間是函數類的空間。

這一章最重要的定理就是對於每一個positive measure，Lp空間完備。p有限時首先通過逐項差構造一個幾乎處處收斂的子列，然後證明子列極限就是函數列極限就可以證明。p無窮的時候比較簡單，構造子列得反過來，先把不收斂的點挖掉剩下的就收斂了。注意到我們得到一個推論：Lp空間上的Cauchy列有一個幾乎處處收斂的子列。

剩下的部分講了講Lp空間稠密的子集和完備化，要完備化的空間就是第二章那個緊支撐集上的連續函數，完備化大概就是任給一個Epsilon,除了一個緊集外都比Epsilon小。

第四章自然就到了Hilbert Space，注意完備性是必須的。這一章前面都是一些線性代數，熟悉內積空間的一般理論就行了。注意由於有拓撲，補空間是對閉集考慮的。

比較有趣的是涉及無限和（也就是Fourier級數）的情況，注意在集合A上求和就是用計數測度作積分。所以可以用前一章的Lp空間理論來考慮稠密性（比如可以用簡單函數），而且稠密的子集不是沒用的，因為稠密子集上的isometry可以建立兩個空間的isometry，於是我們就有Riesz-Fischer theorem。一個極大的正交集就能用來誘導isometry，滿足一些Fourier級數類似的性質，這個isometry其實也是isomorphism，而且選擇公理保證了這個存在性。

接下來就是喜聞樂見的三角級數，為了說明三角級數族的極大性，只需說明三角級數族有個稠密性，然後我們用kernel方法構造收斂，這些內容也可以參考stein的書。

給第五章開個頭，一開始介紹了Banach space，說Hilbert Space的正交性畢竟太特殊了，有時候考慮Banach space更好。接下來是一些泛函的東西。