機器人學中的旋轉矩陣怎麼理解？

05-19

初學機器人，看了機器人學導論這本書，但是卻不理解旋轉矩陣，旋轉矩陣到底想表達什麼

本人應用數學，不請自來。

題主可能要了解這樣一個事實：矩陣就是變換。

所以，旋轉矩陣就是用來做旋轉操作的變換。

旋轉矩陣一般分 3 個理解， $R_x( heta),R_y( heta),R_z( heta)$ ，分別對應繞 $x,y,z$ 軸旋轉 $heta$ 角。先寫出來如下：

$R_z( heta)=egin{pmatrix} cos( heta)-sin( heta)0\ sin( heta)cos( heta)0\ 001 end{pmatrix}$

$R_x( heta)=egin{pmatrix} 100\ 0cos( heta)-sin( heta)\ 0sin( heta)cos( heta) end{pmatrix}$

$R_y( heta)=egin{pmatrix} cos( heta)0sin( heta)\ 010\ -sin( heta)0cos( heta) end{pmatrix}$

然後，我們把機器人的手臂位置，用向量

$v=egin{pmatrix} v_x\ v_y\ v_z end{pmatrix}$

表示，然後我們把機器人的手臂繞著 $x$ 軸旋轉 $58^circ$ ，旋轉之後的手臂位置是多少呢？

正是用矩陣乘法表達的：

$R_x(58^circ)v=egin{pmatrix} 100\ 0cos(58^circ)-sin(58^circ)\ 0sin(58^circ)cos(58^circ) end{pmatrix}egin{pmatrix} v_x\ v_y\ v_z end{pmatrix}$

又比如，我們想要在上面的基礎上，繼續將機器人的手臂做一系列繞 $y$ 軸，繞 $z$ 軸旋轉指定角度的操作，也只需要繼續在左邊乘相應的矩陣，比如

$R_z(77^circ)R_y(32^circ)R_x(58^circ)v$

等等。

Euler 發現，剛體的任何一個旋轉都有旋轉軸，而且都可以僅僅靠上面 3 種繞軸旋轉的反覆操作有限次實現。

題主可能是本身對機器人比較有興趣所以去看的這本書。

但是冒昧提醒一下，您現在可能需要看的是高等代數，線性代數一類的基礎書，把矩陣的知識基礎打好。

最後祝題主學習愉快。

旋轉矩陣是用來描述三維空間中兩個不同笛卡爾坐標系之間姿態（不含位置）關係的一個3×3矩陣。

1.矢量與坐標

我們常常用矢量 $v$ 來描述一個物體的線速度，矢量是一個抽象概念，要讓計算機處理矢量，就需要將矢量用相應的坐標來表示。要找到矢量的坐標，必須先選定一個坐標系，在三維空間下，若我們選取一個符合右手法則的笛卡爾坐標系，那麼對於矢量 $v$ 就有： $v=ue_{x}+ve_{y}+we_{z}$ ，其中 $e_{x},e_{y},e_{z}$ 是三維空間中的一組基（準確說應該是一組標準正交基）,該坐標系可以用原點 $O$ 和這組基 $e_{x},e_{y},e_{z}$ 唯一確定。在該坐標系下，矢量 $v$ 對應的坐標由三個實數 $u,v,w$ 表示，為與矢量區分記作 $ar{v}=[u,v,w]^T$ .

所以連接矢量與坐標的橋樑就是坐標系（或者說是一組基），然而坐標系的選取是不唯一的，所以與矢量對應的坐標也是不唯一的，同一個矢量在不同坐標系 ${A}$ 、 ${B}$ 下對應不同的坐標 $^A ar{v}$ 、 $^B ar{v}$ 。雖然坐標系不同，坐標就會不同，但它們表示的都是同一個矢量，所以不同坐標之間是有一定關係的，也就是說可以找到 $^A ar{v}$ 、 $^B ar{v}$ 等表達同一矢量的不同坐標之間的關係，而旋轉矩陣 $_{B}^{A}R$ 就能完成這一任務： $^A ar{v}= _{B}^{A}R ^B ar{v}$ 。

註：1）由於題主是看過《機器人學導論》的，這裡就沿用該書中上下角標等符號規則；

2）由於問題是旋轉矩陣，故不討論不同坐標系坐標原點不重合的情況，只討論如下圖所示的坐標原點重合的兩個坐標系之間的姿態關係。

2.旋轉矩陣 $_{B}^{A}R$

當只討論坐標系姿態不同時，坐標與坐標系的一組基的線性組合就是矢量：

$v=[e_{x}^A e_{y}^A e_{z}^A] ^A ar{v}$

$v=[e_{x}^B e_{y}^B e_{z}^B] ^B ar{v}$

$Rightarrow v=[e_{x}^A e_{y}^A e_{z}^A] ^A ar{v}=[e_{x}^B e_{y}^B e_{z}^B] ^B ar{v}$

$Rightarrow ^A ar{v}=[e_{x}^A e_{y}^A e_{z}^A]^{-1}[e_{x}^B e_{y}^B e_{z}^B] ^B ar{v}$

$Rightarrow ^A ar{v}=[e_{x}^A e_{y}^A e_{z}^A]^T[e_{x}^B e_{y}^B e_{z}^B] ^B ar{v}$

$Rightarrow _{B}^{A}R=[e_{x}^A e_{y}^A e_{z}^A]^T[e_{x}^B e_{y}^B e_{z}^B]$

顯然，相對於A坐標系的旋轉變換矩陣其實就是B坐標系的一組基在A坐標系基上的投影，因此可以記作 $_{B}^{A}R=[ ^Aar{e}_{x}^B ^Aar{e}_{y}^B ^Aar{e}_{z}^B]$ , $^Aar{e}_{x}^B$ 表示B坐標系的 $x$ 軸在A坐標系中的坐標。具體的例子就不舉了，你可以假設B坐標系相對於A坐標系的z軸旋轉了90°，畫張圖結合上式驗證一下。