重新認識《幾何原本》——致那些年我們白學的幾何（下）

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最重要的事

所以，《幾何原本》里出現的那裡定理本身並不是很重要。重要的是：歐幾里得通過對前人工作的整理，通過超凡入聖的洞察力和判斷力選擇了5條顯而易見的基本公理作為假設，然後仔細的安排了所有的定理，使所有的定理跟前面的定理邏輯一致，在需要證明的地方給出了補充，然後，歐幾里得完成了這樣一個工作：把原本看起來零零散散的一些定理通過邏輯嚴密的綁在了一起，而他們需要承認的地方僅僅只有5個顯而易見的公理。

那些定理就像是一個個零散的部件，在歐幾里得這裡形成了一個完整的體系系統；就像一堆各自為王的草寇被整編成了正規軍；就像一顆顆散落的珍珠被串成了一條項鏈。

從此，西方的科學裡有了體系一說，西方的科學家們驚嘆於歐幾里得發明的這套方法，於是紛紛將這一套東西引入到自己的研究領域，從此這種方式成為了西方科學研究的基本範式，任何人研究一個全新的領域，都先先做幾個最基本的假設作為公理，然後從這些假設出發推導出一些定理，當然，他必須保證自己推到的這些定理前後不矛盾（這就需要很強的邏輯能力，《幾何原本》就是對邏輯能力最好的訓練教材），然後他會以這些推到出來的定理為基礎，利用嚴密的邏輯一步步的擴大領地，知道最終把這個領域內的一切都包含進來，知道最終解決所有的問題。因為他們知道如果公理可靠，那麼推出來的定理也一定是可靠的，那麼我再基於這些定理推出來的其他定理也一定是可靠的，所以我的領地只會增加不會減少，但是，這同時也意味著這裡所有的定理都有連帶責任，只要有一條定理跟事實不符，那麼整個體系就會垮掉。

對於任何一套體系，如果我假設的公理越簡單越基本，那麼顯然他出現漏洞的可能性就會越小，被人接受理解的可能性也越大。如果需要的前提假設越多，就跟武林高手練功一樣，留的罩門就越多，就越容易被人找出破綻。

光速不變就是愛因斯坦在狹義相對論里提出的一條假設（另一條是相對性原理，說物理定律在一切慣性參考系中都具有相同的數學表達形式）

如果我是幾何老師

寫下這個小標題之後突然發現一個幾何老師在我們這個教育體系里決定不了什麼，只能按照學校發的教材按部就班的給學生講，給學生出各種題目讓他熟悉考試。那就假設把許可權放大一點，假設學習國外的教授治校，讓老師自己可以決定要怎麼教教什麼。那我會毫無疑問的拋棄人教版的幾何教材，選擇《幾何原本》作為學生學習幾何的教材，我會告訴我的學生：學習幾何最重要的不是掌握了幾個定理，會做幾條輔助線，而是你自己能夠從那幾個最簡單的公理出發，一部一部推導出那麼多看起來不那麼直觀的定理，這些定理看起來好像很玄乎很不可思議，但是你回顧自己推導的過程，每一步都走的那麼堅實，每一個推理步驟都無懈可擊，所以這個定理無論看起來怎麼不可思議，但是絕對是正確的。

這時候你會由衷的感嘆邏輯的偉大，科學的偉大，許多年後你可能會忘了《幾何原本》里的那些定理，但是推導那些定理的那些過程和那種思維的範式都會深深的印在你的腦海里，而這些東西，才是《幾何原本》留下來最珍貴的東西。

掌握了《幾何原本》精髓，你才會面對未知領域的時候有信心去構建一個系統，有信心去研究並掌握這一領域背後的全部秘密。如果你沒有這種科學邏輯系統化的概念，就算你的想像力洞察力再豐富，也只能發現一些零散的東西，或者解決一些別人留下來的問題。

牛頓的偉大在哪裡？伽利略和開普勒其實已經做了很多零散前瞻性的研究工作，但是，只有牛頓能夠從這些零散的結論實驗數據中看出他們內在的邏輯聯繫，並且把這些零散的東西整理成一個有機的體系。這種工作，我們想想，和歐幾里得整理《幾何原本》的事情是不是如出一轍？歐幾里得之前人們就已經知道那些幾何定理，只不過他們是零散的方式存在的，是歐幾里得將他們有機的整合成了一個體系。如果你有機會把《幾何原本》和《自然哲學的數學原理》拿來做一個對比，你就會發現牛頓的《自然哲學的數學原理》在風格上跟《幾何原本》極其相似。

可惜，我們的教育裡面恰恰把這個最重要的東西給忽略了，我們的數學教育里把定理的熟悉使用看做最為重要的東西，而對從顯而易見的公理邏輯嚴密的推導出這些定理的事情卻不是很關注，這種科學範式的方法論是我們數學教育里最缺少。我對奧數是持反對態度的，因為中國式的奧數與真正的數學精神是想背離的，這種奧數也無法讓人體會到真正的數學之美，反而容易因為過度的被迫式投入導致自己對數學失去興趣，你信不信，把那些鑽到牛角尖里去的奧數題給菲爾茲獎（數學界的諾貝爾獎）獲得者去做，不見得有幾個人能做出來。

當然，如果是自己因為對數學感興趣而自發的去解除奧數，那當然沒什麼，如果只是因為高考加分或者給自己補個特長去學奧數，那就大可不必。如果你的真的對數學感興趣可以去了解數學的思想史，了解數學的方法論和背後的哲學意義，甚至你可以提早去接觸微積分，這比你去做幾個奧數題有意義得多。這裡就先說到這裡，關於數學學習教育的事情並不是本文的重點，大家要是感興趣的話以後我可以專門寫這方面的文章。

回顧一下歷史

1582年，明神宗萬曆十年，有一個叫利瑪竇的義大利人來到中國，不過，直到18年後他才見到萬曆皇帝，我們的萬曆皇帝在宣武門賜給了利瑪竇一棟別墅，讓他安心的在北京做東西方的科技文化交流工作。不久利瑪竇就收了一位好學生徐光啟，利瑪竇以《幾何原本》為教程教授徐光啟西方的數學理論，然後兩人合作翻譯了《幾何原本》的中文版，我們現在經常說的三角形、平行線、直角、銳角、相似等等詞，都是徐光啟發明的。徐光啟也絕對是個聰明人，他學習《幾何原本》之後就利用這幾何知識就精準的預測了一次日食，搞得朝野振動，一時間西方科學名聲大振，然後一大波西方科學著作潮水般的被翻譯進來了。

徐光啟他意識到了《幾何原本》代表的這種西方科學範式的方法論非常的重要，他那時候就意識到了幾何學代表的這種嚴密的邏輯推理方法是科學研究的基礎，也就是說，明朝的末期就已經有人看到了《幾何原本》最珍貴的地方，那麼為什麼400多年後的今天，我們在數學基礎教育里依然看不到這一點呢？西方數學最為重視的形式邏輯和演繹推理我們的教育里一直極度缺乏，想想我們小時候數學做得最多的題目是什麼？是應用題！！！也許我們的潛意識裡，直到現在，和古人把這些定義為奇淫技巧並沒有什麼太大的區別，雖然我們並不想承認。

徐光啟利用《幾何原本》預測日食的那一年是1610年，距離科學巨星牛頓的誕生還有33年，那個時候，大量的西方科技著作被引入中國，有介紹托勒密和亞里士多德體的自然哲學、邏輯學和方法論的，有介紹天文儀器地理知識的，有介紹心理學和人體生理解剖學的，有介紹機械學和工程學，基本上，中世紀西方科學被全體系的搬到了中國，你覺得這樣的大背景下，如果牛頓的《自然哲學的數學原理》發表之後能不被引入中國？很難想像如果沒有滿清入關，或者就算即便有滿清入關，但是滿清對待科學的態度能有明末對待科學態度的三分之一，中國的科學絕不至於那麼落後，那現在也不會有什麼「儒學妨礙科學」之類的爭論了。最後這算一點感慨一點牢騷，扯遠了~

最後的祝福

如果你是小學生，我希望你明白數學不是只用來做算術做應用題的，你現在用的那些自然數、那些幾何圖形都是對自然的一種抽象，對世界的一種描述，數學有很深的哲學背景，因為世界很美很奇妙，所以數學很美很奇妙。

如果你是初中生，我希望有機會你能弄一本《幾何原本》來讀一讀，看看能不能邏輯嚴密的自己推導出那些定理，並且體會《幾何原本》代表的這種方法。如果你能用自己的方法證明勾股定理，作為一個初中生，那給你帶來的喜悅將不亞於發現了這樣一個定理。

如果你是高中生，我首先希望你對數學的興趣還沒有被磨滅。如果你有幸還喜歡數學，你不用像我當年一樣傻乎乎的去買一堆奧數的書，你可以去了解一下微積分的思想，可以去了解一下數學的思想史、方法論和哲學史。

如果你是大學生，你要知道《高等數學》或者《數學分析》的那點東西是遠遠不夠的，而很多數學家在這個年齡已經做了很多原創性的工作了。

如果你是研究工作者，我希望你能深刻體會《幾何原本》代表的這種西方科學的思想方法，能夠借鑒這種方法構建自己的一套體系。中國不缺范解決單一問題的人，但是極度缺乏能夠系統化某個領域的大師。

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