分析和代數原理(6)

05-18

分析和代數原理(6)

來自專欄物理學原理概述

點列，級數

在繼續線性空間的抽象分析之前，我們已經可以用目前的體系，創造出一些具有價值的結果。最引人注意的研究對象當然是點列，它是用來研究拓撲性質的強大工具。

若度量空間中點列收斂，則稱它收斂到的那個點是點列的極限。若不收斂，則稱點列發散。

命題 度量空間中的點列收斂，則點列有界，並且極限唯一。

這裡的點列有界即它的值域是度量空間中的有界集。

稱拓撲空間是列緊的，若空間中的任意點列都有收斂子列。列緊性和緊性有如下關係：

定理(Bolzano-Weierstrass) 第一可數拓撲空間是緊的，那麼它是列緊的。特別的，度量空間是緊的當且僅當它是列緊的。

稱拓撲空間是第一可數的，若它在任意點有可數的鄰域基；所謂鄰域基即是把點的一些鄰域當作基。定理的後半部分是之前已經闡述過的內容。對於基本列，還有如下的重要性質，這足以說明為什麼稱其是「基本」的原因：

定理(Cauchy) 緊度量空間中點列收斂當且僅當它是基本列。

這個定理說明緊度量空間必定是完備的。除了最一般的點列，還經常研究數列，即實數域上的點列，而研究它的方便性就在於實數集有特別優良的拓撲性質，比如完備性。

稱一個數列 $left{ x_n ight}$ 單調，若 $forall nin mathbb{N}$ ， $x_nleqslant x_{n+1}$ 或 $x_ngeqslant x_{n+1}$ 其中之一成立。等號不成立的情況，稱作是嚴格單調。

命題(Weierstrass) 單調數列收斂當且僅當它有界。

稱數列 $left{ x_n ight}$ 趨向正無窮或收斂到正無窮，若 $forall M>0,exists Nin mathbb{N}$ 使 $forall n>N$ 滿足 $x_n>M$ ，記作 $x_n o+infty$ 或 $lim_{n ightarrow infty}{x_n}=+infty$ 。類似可定義負無窮。記數列 $left{ x_n ight}$ 的值域是 $E$ ，那麼稱數列的上極限是 $sup E$ ，記作 $lim sup x_n$ ，類似可定義下極限。這裡的上極限可以是正無窮。

稱 $sum_{i=1}^{infty}{x_i}$ 是一個級數，其中 $left{ x_n ight}$ 是一個數列，而 $S_n=sum_{i=1}^{n}{x_i}$ 是級數的部分和。若部分和數列收斂，則稱級數收斂。這樣，數列的相關結論都可以搬到級數上來。若 $sum_{i=1}^{infty}{|x_i|}$ 收斂則稱級數絕對收斂，否則稱級數條件收斂。容易發現，級數 $sum_{i=1}^{infty}{x_i}$ 收斂那麼 $lim_{n ightarrow infty}{x_n}=0$ 。

定理(Riemann) 對任意條件收斂的級數 $sum_{i=1}^{infty}{x_i}$ ，都存在置換 $pi$ ，使 $forall ainmathbb{R}$ ， $sum_{i=1}^{infty}{x_{pi{(i)}}}=a$ 。

這個定理說明不可隨意交換級數的兩項，除非它是絕對收斂的。

微積分

現在展開對一般的函數的研究。但現有的工具都是線性的，這要求我們對非線性的函數作線性的估計。所幸的是，實空間 $mathbb{R}^n$ 是拓撲性質非常好的賦范線性空間，這給研究帶來了部分便利。

稱從拓撲空間 $X$ 映到 $mathbb{R}^n$ 的映射 $f:X omathbb{R}^n$ 是實函數或簡稱函數。稱函數關於拓撲基 $mathfrak{B}$ 有極限 $Ainmathbb{R}^n$ ，若 $forall O(A),exists Bin mathfrak{B}$ 使 $f(B)subset O(A)$ 。稱函數 $f:U omathbb{R}^n$ 在點 $xin U$ 連續，其中 $Usubset mathbb{R}^m$ ，若 $forall O(f(x)),exists O(x)subset U$ 使 $f(O(x))subset O(f(x))$ 。到這裡的定義都和前面是一致的，並且相關結論也是適用的。

命題 若函數 $f$ 和 $g$ 關於 $mathfrak{B}$ 有極限，那麼 $f+g$ ， $fcdot g$ 都關於 $mathfrak{B}$ 有極限，若 $lim_{mathfrak{B}}{g} e0$ 則 $fover g$ 也有極限。

命題 若函數 $f$ 和 $g$ 在點 $x$ 連續，那麼 $f+g$ ， $fcdot g$ 都在點 $x$ 連續，若 $g(x) e 0$ 則 $fover g$ 也連續。

若 $frac{lim_{mathfrak{B}}{f}}{lim_{mathfrak{B}}{g}}=0$ ，則記 $f=o(g)$ 關於 $mathfrak{B}$ 。若 $f=o(1)$ 則稱 $f$ 關於 $mathfrak{B}$ 是無窮小。

稱函數 $f:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}^n$ 在聚點 $xin U$ 是可微的，若 $f(x+h)-f(x)=L(x)h+alpha(x,h)$ ，其中 $L:mathbb{R}^m omathbb{R}^n$ 是線性形式， $hin mathbb{R}^n$ ，且 $lim_{h o0}{alpha(x,h)}={o(h)}$ 。稱 $L$ 是函數在點 $x$ 處的微分或切映射，記作 $Df(x)$ 或 $f(x)$ 。

由於 $f$ 是線性空間中的函數，那麼它有坐標形式 $f=(f^1,cdots,f^n)$ 。

命題 函數 $f:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}^n$ 在聚點 $xin U$ 可微，當且僅當它的坐標分量 $f^i$ 在 $xin U$ 可微。

稱 $frac{partial f}{partial x^i}(x)=lim_{h^i o0}{frac{f(x^1,cdots,x^{i-1},x^i+h^i,x^{i+1},cdots,x^m)-f(x^1,cdots,x^m)}{h^i}}$ 是 $f:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}^n$ 在點 $x=(x^1,cdots,x^m)inmathbb{R}^m$ 關於 $x^i$ 的偏導數。顯然偏導數就是微分在一個坐標上的分量，即 $f(x)=(frac{partial f}{partial x^1}(x),dots,frac{partial f}{partial x^m}(x))$ 。這也可以寫作 $f(x)h=frac{partial f}{partial x^1}(x)h^1+dots+frac{partial f}{partial x^m}(x)h^m$ 。從這一點出發，我們現在把 $f=(f^1,cdots,f^n)$ 寫成列向量 $f=left[ egin{matrix} f^1 \ f^2 \ cdots \ f^nend{matrix} ight]$ ，從而 $f(x)h=left[ egin{matrix}frac{partial f^1}{partial x^1}(x)h^1+dots+frac{partial f^1}{partial x^m}(x)h^m \ frac{partial f^2}{partial x^1}(x)h^1+dots+frac{partial f^2}{partial x^m}(x)h^m \ cdots \ frac{partial f^n}{partial x^1}(x)h^1+dots+frac{partial f^n}{partial x^m}(x)h^mend{matrix} ight]$ ，即 $f(x)=left[ egin{matrix}frac{partial f^1}{partial x^1}(x)&dots&frac{partial f^1}{partial x^m}(x) \ vdots &&vdots\ frac{partial f^n}{partial x^1}(x)&dots&frac{partial f^n}{partial x^m}(x)end{matrix} ight]$ 。稱矩陣 $J=(partial_if^j)$ 是 $f$ 在點 $x$ 的Jacobian矩陣。

命題 若函數 $f:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}^n$ 在聚點 $xin U$ 可微，那麼它在點 $x$ 的微分唯一，微分就是Jacobian矩陣，並且它在點 $x$ 連續並且偏導數都存在。

命題 若函數 $f:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}^n$ 和 $g:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}^n$ 在聚點 $xin U$ 可微，那麼 $forall lambda,muinmathbb{R}$ ， $(lambda f+mu g)(x)=lambda f(x)+mu g(x)$ 。

命題 若函數 $f:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}$ 和 $g:mathbb{R}^msupset U omathbb{R}$ 在聚點 $xin U$ 可微，那麼 $(fcdot g)(x)=g(x)f(x)+f(x)g(x)$ ， $g(x) e0$ 時還有 $(frac{f}{g})(x)=frac{g(x)f(x)-f(x)g(x)}{g^2(x)}$ 。

關於複合映射的微分，有如下定理。

定理函數 $f:mathbb{R}^msupset X o Ysubsetmathbb{R}^n$ 在 $xin X$ 可微， $g:Y omathbb{R}^k$ 在 $y=f(x)in Y$ 可微，那麼複合函數 $gcirc f$ 在 $xin X$ 可微且 $(gcirc f)=(partial_jg^l)(partial_if^j)$ 其中 $l=1,cdots,k$ 。

關於逆映射，有如下定理。

定理函數 $f:mathbb{R}^nsupset O(x) o O(y)subsetmathbb{R}^n$ 在 $xin O(x)$ 連續並且逆映射 $f^{-1}:O(y) o O(x)$ 存在且在 $yin O(y)$ 連續。若 $f$ 在 $xin O(x)$ 可微且微分 $f$ 有逆映射 $(f)^{-1}$ ，則 $f^{-1}$ 在 $yin O(y)$ 可微且 $(f^{-1})=(f)^{-1}$ 。

下面這個定理是所謂的中值定理或有限增量定理：

定理(Lagrange) 實函數 $f:mathbb{R}^msupset U o mathbb{R}$ 在 $[x,x+h]subsetmathbb{R}$ 上連續，在 $(x,x+h)subsetmathbb{R}$ 上可微，那麼存在點 $xiin (x,x+h)$ 使 $f(x+h)-f(x)=f(xi)h$ ，其中 $h>0$ 。

根據這個定理可立即推出

命題 函數在一點的所有偏導數都存在並且都連續，那麼函數在這點可微。

若把函數在每點的微分或偏導數看成一個函數在這點的值，那麼微分或偏導數就變成了一個函數，並且照樣可以進行微分或求偏導。若函數 $f:X o Y$ 進行可以 n 次微分，就記 $fin C^{n}(X;Y)$ 。 $fin C^{0}(X;Y)=C(X;Y)$ 表示函數連續。稱函數進行 n 次微分得到的函數是它的 n 階微分。

命題二階混合偏導數 $frac{partial^2f}{partial x_ipartial x_j}$ 和 $frac{partial^2f}{partial x_jpartial x_i}$ 在一點相等，若兩者在這點均連續。

現在來考慮函數空間。函數的空間，比如 $mathbb{R}^m$ 到 $mathbb{R}^n$ 的全體函數的集合，顯然是線性空間，這很容易驗證。從而可以考慮，這個線性空間是否存在一組基。若沒有基，至少可以進行線性逼近。下面這個定理給出了解答。

定理(Taylor) 函數 $f:mathbb{R}^msupset O(x) omathbb{R}$ ， $[x,x+h]in O(x)$ 且 $fin C^{n+1}(O (x);mathbb{R})$ ，那麼 $f(x+h)-f(x)=$ $sum_{k=1}^{n}{frac{(h^1partial_1+cdots+h^mpartial_m)^k}{k!}}f(x)+alpha(x,h)$ ，其中 $h=(h^1,cdots,h^m)$ ， $partial_if(x)=frac{partial f}{partial x_i}(x)$ ， $h o0$ 時 $alpha(x,h)=o(|h|^{n+1})$ ， $k!=1cdot2cdots(k-1)cdot k$ 。

一維的情況下有更漂亮的形式： $f(x)-f(x_0)=sum_{k=1}^{n}{frac{f(x_0)(x-x_0)^k}{k!}}+alpha(x_0,x)$ 其中 $f:mathbb{R}supset U omathbb{R}$ 。若取 $x_0=0$ ，並且函數無窮多次可微，那麼得到一組基 $1,x,x^2,cdots,x^n,cdots$ 。我們可以通過Gram-Schmidt正交化方法來把這組基變成標準正交基。值得注意的是，這基顯然是無窮維線性空間內的；而無窮維線性空間正是我們接下來要研究的重要問題。在轉向研究無窮維線性空間前，還有一些成果需要闡明。

微分運算元顯然是一個線性運算元，這可輕易驗證；接下來就要尋找它是否有逆運算元。

稱集合 $I=left{ xin mathbb{R}^n|a^ileqslant x^ileqslant b^i ight}$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的閉區間， $mu(I)=prod_{i=1}^{n}(b^i-a^i)$ 是區間 $I$ 的測度。稱 $Usubsetmathbb{R}^n$ 是Lebesgue零測度集，簡稱L零測度集，若 $forallvarepsilon>0$ ，存在至多可數個閉區間組成的集族 $left{ I_i ight}$ 覆蓋 $U$ ，並且 $sum_{i}mu(I_i)leqslantvarepsilon$ 。稱函數 $f$ 在定義域上幾乎處處連續，若它的不連續點的集合是L零測度集。

把區間 $I$ 分為互不相交的k個小區間 $I_i$ ，稱 $P=I=igcup_{i=1}^{k}I_i$ 是區間的一個分劃， $lambda(P)=mathrm{maxspace diam}I_i$ 是分劃的參數。在每個小區間中取一個點 $xi_iin I_i$ ，稱 $sigma(f,P,xi)=sum_{i=1}^{k}{f(xi_i)mu(I_i)}$ 是函數 $f:I omathbb{R}$ 在區間 $I$ 上的Riemann和。稱 $int_If(x)dx=lim_{lambda(P) o0}{sigma(f,P,xi)}$ 是 $f$ 在區間 $I$ 上的Riemann積分簡稱R積分，若這個極限存在，記作 $finmathfrak{R}(I)$ 。若是實數集區間 $I=[a,b]$ 上的積分，則可寫作 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 。

定理(Riemann-Lebesgue) $finmathfrak{R}(I)$ 當且僅當 $f$ 在 $I$ 上有界並且在 $I$ 上幾乎處處連續。

定理(Newton-Leibniz) 對於實數區間 $[a,b]$ 上的連續函數 $f(x)$ ，若存在 $F(x)$ 使 $F(x)=f(x)$ ，那麼 $int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ 。

定理(Fubini) 從兩個區間 $Xsubsetmathbb{R}^m$ 和 $Ysubsetmathbb{R}^n$ 的直積 $X imes Y$ 映到 $mathbb{R}$ 的函數 $f$ 在 $X imes Y$ 上可積，那麼 $int_{X imes Y}f(x,y)dxdy=int_{X}(int_{Y}f(x,y)dy)dx=int_{Y}(int_{X}f(x,y)dx)dy$ 。

積分運算元的線性性質容易看出，因為它本身是個求和。並且很快能發現，積分可作為函數空間上的範數，這就給研究純粹的函數空間引入了工具；但令人遺憾的是這個範數導出的度量並不完備。這就導致我們尋找一個R積分的完備化。