1.1 Ring和Algebra

05-18

1.1 Ring和Algebra

來自專欄實變函數與泛函分析筆記

本節有兩個主題，一是介紹集合列（sequence of sets）的極限，二是介紹代數結構——環（ring）和代數（algebra）。為什麼介紹集合列的極限？因為在實變函數的證明中，構造集合列及其極限是重要的技巧。為什麼介紹環和代數？因為可測集構成一個 $sigma$ 代數。

術語說明：

$X$ :表示全集，更形象地稱為「空間」， $X$ 中的元素叫做點。

$E$ :表示 $X$ 的子集，即 $Esubseteq X$ 。

集族：集合的集合，即以集合作為元素構成的集合，也即 $E_alpha in$ 集族（其中 $E_alpha subseteq X$ ）。

冪集 $mathscr{P}(X)$ : $mathscr{P}(X)={$ $X$ 中所有子集 $}$ ，即 $X$ 所有集合作為元素構成冪集。

Section 0 數列的極限

為方便理解集合列的極限，先來看一下數列的上下極限。設有數列 ${ x_n}$ ,

數列的上極限定義為 $[mathop {lim sup x_n} (= overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{x_n} )= mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{m ge n} { m{ }}{x_m}]$ ,

數列的下極限定義為 $[mathop {lim inf x_n} (=mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{x_n} )= mathop {sup }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {inf }limits_{m ge n} { m{ }}{x_m}]$ 。

例子1 如圖，藍色點為數列 ${ x_n}$ 。數列的上極限是怎麼得到的呢？先固定一個 $n$ ，然後求數列中所有 $mgeq n$ 項的上確界，即得到一個數 $[mathop {{ m{sup}}}limits_{m ge n} { m{ }}{x_m}]$ ，然後 $n$ 從1取到 $infty$

，我們就得到一個數列{ $[mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{x_k}]$ }，如圖最上邊紅色線所示。易知，數列{ $[mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{x_k}]$ }是遞減的，我們再對它取下確界，即 $mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{m ge n} { m{ }}{x_m}$ ，就得到了數列 ${ x_n }$ 的上極限。仿照上述步驟可得到數列 ${ x_n }$ 下極限的求法。

注釋：

1. 若不理解定義，建議按照例子動手畫一畫，寫一寫。

2. 直觀上理解，數列的上極限就是先取最大，然後取最小；數列的下極限就是先取最小，然後取最大。

2. 數列的極限不一定存在，但是數列的上極限和下極限一定存在。而當上極限=下極限時，數列的極限存在。

更多請參考以下鏈接：

Jason Huang：數列的上/下確界與上/下極限的區別和聯繫?

zhuanlan.zhihu.com

練習題：設有數列 ${a_n }$ 和 ${b_n}$ ,且對任意的 $n$ ，有 $a_n leq b_n$ ,證明 $underline{lim} a_nleq underline{lim} b_n$

Section 1 集合列的極限

設有集合列 ${{ E_n}}$ ，

定義1（集合列的上極限與下極限）

集合列的上極限符號記作 $[mathop {{ m{lim sup}}}limits_{n o infty } { m{ }}{E_n} = overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{E_n} = overline {lim } { m{ }}{E_n}]$ ，其定義為 $overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{E_n} = igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}$ 。集合列的下極限符號記作 $[mathop {{ m{lim inf}}}limits_{n o infty } { m{ }}{E_n} = mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n} = underline {lim } {E_n}]$ ，其定義為 $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}= igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}$ 。

定義2 （集合列的極限）

如果集合列的上極限等於下極限，就說集合列的極限存在，此時 ${lim } { m{ }}{E_n}=overline {lim } { m{ }}{E_n} =underline {lim } { m{ }}{E_n}$ 。

注釋：

1. （上下極限的邏輯語言定義）(重要!) $overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{E_n} = igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}={ x: 對任意正整數n，存在某些kgeq n，使得xin E_k }$ $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}= igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}={ x: 存在某個正整數n，對任意的kgeq n，都有xin E_k }$

$[igcaplimits_{n = 1}^infty {igcuplimits_{k = n}^infty {{E_k}} } = underbrace {({E_1} cup {E_2} cup {E_3} cup cdots )}_{當 n = 1時} cap underbrace {({E_2} cup {E_3} cup cdots )}_{當n = 2時} cap cdots cap ({E_n} cup cdots ) cap cdots ]$
任取正整數 $n$ ，由上面式子可知， $xinigcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}Rightarrow xin{E_n} cup {E_{n+1}} cup cdots$ ，再由並集的定義得到 $x$ 屬於某個 $E_k(kgeq n)$ 。因此 $xinigcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}$ 寫成邏輯語言就是，對任意正整數 $n$ ，存在某個 $kgeq n$ ，使得 $xin E_k$ 。餘下另一個的等式仿照上面的步驟可以推出（其實是懶，占坑以後有空來填）。

2.（上下極限的另一個看法）

$overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{E_n} = igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}={ x: x屬於無限多個E_k}$

$mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}= igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}={x:除去有限個E_N外，x屬於所有的E_k}$

只證明第一個式子。由上面注釋1知道， $若xinmathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}= igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}$ ，則對每一個正整數 $n$ ，我們總能找到某個集合 $E_k(kgeq n)$ ，使得 $xin E_k(kgeq n)$ ，而正整數是無窮多個的，也就是說 $x$ 屬於無限多個 $E_k$ ，這就證明了「 $Rightarrow$ 」方向。若 $xin{ x: x屬於無限多個E_k}$ ，則對任意的正整數 $n$ ，總能找到某個 $kgeq n$ ，使得 $xin E_k$ （這是因為若找不到 $xin E_k (kgeq n)$ ，說明 $x$ 只可能屬於有限個 $E_j (j=1,..n)$ ，與假設矛盾），也即 $xinigcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}$ ，即證明了「 $Leftarrow$ 」方向。
第二個式子留給讀者自證。（求用知乎編輯證明後發給我，比心）

3. 集合列的極限不一定存在，但是集合列的上極限和下極限一定存在。

4. （我的一些叨叨絮絮的話，可以不看）

為什麼集合列的上下極限是這樣定義的？集合列 ${E_n }$ 按照 $E_1,E_2,...,E_k...$ 變化，每個 $E_k$ 的裡面元素也在變化。一個直覺是，有沒有一些元素比較「穩定地出現」呢？如果有，那麼這些元素就是該集合列核心的元素。 下極限 $underline {lim } { m{ }}{E_n}$ 中的元素就是最核心的，因為除去前面有限個 $E_N$ 外，裡面的元素屬於所有的 $E_k$ ；而上極限 $overline {lim } { m{ }}{E_n}$ 中的元素是次核心的，因為裡面的元素只要求屬於無限個 $E_k$ 。從「元素出現」這一點理解，就顯然有 $underline {lim } { m{ }}{E_n}subseteq overline {lim } { m{ }}{E_n}$ 。

集合列的上極限就是先取並集再取交集（先取大後取小），集合列的下極限就是先取交集再取並集（先取小後取大）。

例子2

$[{E_n} = left{ {egin{array}{*{20}{c}} A，n為偶數\ B，n為奇數 end{array}} ight.]$ ，求 $overline {lim } { m{ }}{E_n}$ 和 $underline {lim } { m{ }}{E_n}$ ，何時 ${lim } { m{ }}{E_n}$ 存在？

（1）求 $overline {lim } { m{ }}{E_n}$ 。
一種想法是直接用定義，將每一個 $E_k$ 帶入具體的集合。 $[egin{array}{l} overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } {E_n} = igcaplimits_{n = 1}^infty {igcuplimits_{k = n}^infty {{E_k}} } ;\ = underbrace {({E_1} cup {E_2} cup {E_3} cup cdots )}_{n = 1} cap underbrace {({E_2} cup {E_3} cup cdots )}_{n = 2} cap cdots cap ({E_n} cup cdots ) cap cdots \ = (B cup A cup B cup cdots ) cap (A cup B cup A cup cdots ) cap cdots cap ({E_n} cup cdots ) cap cdots = A cup B end{array}]$
另一種想法是，利用 $overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{E_n} ={ x: x屬於無限多個E_k}$ 。由於 $A$ 和 $B$ 中的元素出現無限多次（或者 $A$ 和 $B$ 的元素屬於無限多個 $E_k$ ），因此 $overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{E_n} =Acup B$
(2) 求 $underline {lim } { m{ }}{E_n}$ 。用定義 $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}= igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}$ 或者用 $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}={x:除去有限個E_N外，x屬於所有的E_k}$ 。 $mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}$ 中的元素要求從某個 $N$ 之後，都要屬於所有的 $E_k(kgeq N)$ 。而題目中的 $E_k$ 要麼是 $A$ 要麼是 $B$ ，也就是說這些元素要屬於 $A$ 和 $B$ ，也就是屬於 $A cap B$ 。故 $underline {lim } { m{ }}{E_n}=A cap B$ 。
（3）若 ${lim } { m{ }}{E_n}$ 存在，則 $overline {lim } { m{ }}{E_n} =underline {lim } { m{ }}{E_n}$ ，即 $Acup B= Acap BRightarrow A=B$ 。

$riangle$ 集合上下極限的性質

集合上下極限以下幾個性質將會大量用在證明中。

(1) $underline {lim } { m{ }}{E_n}subseteq overline {lim } { m{ }}{E_n}$

若 $xin mathop {underline {lim } }limits_{n o infty } { m{ }}{E_n}= igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k}$ ，則存在某個 $n$ ，使得 $xinigcap_{k=n}^{infty}{E_k}$ ，也即 $kgeq n$ 時， $x$ 屬於所有的 $E_k$ 。由並集的定義，即可得：對任意的 $n$ ， $x$ $in$ $igcup_{k=n}^{infty}{E_k}$ （展開能看得加清楚），也即 $x in igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}=overline {lim } { m{ }}{E_n}$ 。證明完成。

(2) $(underline {lim } { m{ }}{E_n})^c=overline {lim } { m{ }}{E_n}^c$ ; $(overline {lim } { m{ }}{E_n})^c=underline {lim } { m{ }}{E_n}^c$ （上標 $c$ 表示對全集補集）

利用德摩根定律： $(A cup B )^c=A^c cap B^c 或 (igcup_{a} E_alpha) ^c=igcap_{a} E_alpha^c\ (A cap B )^c=A^c cup B^c 或 (igcap_{a} E_alpha) ^c=igcup_{a} E_alpha^c$ $(underline {lim } { m{ }}{E_n})^c=(igcup_{n=1}^{infty}igcap_{k=n}^{infty}{E_k})^c=igcap_{n=1}^{infty}(igcap_{k=n}^{infty}{E_k})^c=igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{E_k}^c=overline {lim } { m{ }}{E_n}^c$

(3)設有集合列 ${ E_n}$ ，若 $E_n$ 是升列，則該集合列極限存在且為所有集合的並集，即 $for forall n,E_nsubseteq E_{n+1}Rightarrow {lim } { m{ }}{E_n}=igcup_{n=1}^{infty} E_n$ 。若 $E_n$ 是降列，則該集合列極限存在且為所有集合的交集，即 $for forall n,E_nsupseteq E_{n+1}Rightarrow {lim } { m{ }}{E_n}=igcap_{n=1}^{infty} E_n$

Section 2 集合的特徵函數（characteristic function）

集合的特徵函數也大量用於證明中。

定義3 (集合的特徵函數)

設有 $E subseteq X$ ，定義 $E$ 的特徵函數 $chi_E : X ightarrow { 0,1}$ 為： $[{chi _E} (x)= left{ {egin{array}{*{20}{c}} { m{1}}, if x in E\ { m{0}} ,if x otin E end{array}} ight.]$

注意：（1） $chi_E$ 是定義在整個空間 $X$ 上的。（2） $chi_E$ 的定義是逐點的（pointwise）。

性質：

（1）若 $Asubseteq B$ ，則 $chi_A(x)leq chi_B(x)$

$( B ackslash A )={x: x in B and x otin A}$
因為 $Asubseteq B$ ，故 $B=A cup ( B ackslash A )$ (且 $A cap ( B ackslash A )=emptyset$ )。接下來將整個空間 $X$ 分區域討論。

當 $x$ 屬於 $A$ 時， $x$ 也屬於 $B$ ，故此時 $chi_A(x)= chi_B(x)=1$ 。當 $x$ 屬於 $( B ackslash A )$ 時， $chi_B(x)=1 > chi_A(x)=0$ 。當 $x$ 屬於 $Xackslash B$ 時， $chi_A(x)= chi_B(x)=0$ 。綜上就證明了 $chi_A(x)leq chi_B(x)$ 。

（2） $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)=chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)$ ; $underline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)=chi_{underline{ ext{lim} } E_n}(x)$

（即對集合列取上下極限與取特徵函數可以交換順序)

（a）先明確 $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)$ 和 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)$ 的含義。由於集合的特徵函數是逐點定義的，因此固定一個 $x$ ,當 $n$ 從1到 $infty$ 變化時， $chi_{E_{n}}(x)$ 取變化的值，因此得到一個數列 ${ chi_{E_{n}}(x)}$ ，那麼 $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)$ 就是該數列的上極限，即 $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)= mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}$ 。 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)$ 表示集合 $overline{ ext{lim}} E_n$ 的特徵函數。
（b）如果我們能證明對任意的 $x$ , $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)$ 和 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)$ 取相同的值，也就完成了等式的證明。由於 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)$ 只能取0或者1兩個值，故不妨令 $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)$ =1，然後證明在這情況下也有 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)=1$ 。
（c）假設 $overline{ ext{lim}} chi_{E_{n}}(x)= mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1$ 。由於 $mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}$ 含義為從第 $n$ 項開始，對 ${chi_{E_{n}}(x),chi_{E_{n+1}}(x),...}$ 取最大的數，因為每一個 $chi_{E_{k}}(x)$ 只能取 $0$ 或 $1$ ，,因此 $mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}$ 只可能為0或1。但由假設 $mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1$ ，也就是對任意的 $n$ ,都有 $mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1$ ，這又說明在 ${chi_{E_{n}}(x),chi_{E_{n+1}}(x),...}$ 中，存在某個 $kgeq n$ ， $chi_{E_{k}}(x)=1$ ，這就表明 $xin E_k$ 。也就是說，若 $mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1$ ，我們就對任意的 $n$ ，總能找到某個 $kgeq n$ ，使得 $xin E_k$ ，也即 $x in overline {lim } { m{ }}{E_n}$ (集合列上極限的定義)，故 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)=1$ （特徵函數的定義）。這就證明了 $mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1 Rightarrow chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)=1$ 。上面的證明反過來敘述又可證明 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)=1 Rightarrow mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1$ 。這就證明了 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)=1 Leftrightarrow mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=1$ 。同理又可證明 $chi_{overline{ ext{lim} } E_n}(x)=0 Leftrightarrow mathop {inf }limits_{n ge 1} { m{ }}mathop {{ m{sup}}}limits_{k ge n} { m{ }}{chi_{E_{n}}(x)}=0$ 。這就完成了所有證明。
註：證明是我自己想的，有點繁瑣。若有更好的證明，還望告知。

（3） ${lim } { m{ }}{E_n}$ 存在 $Leftrightarrow$ ${ ext{lim}} chi_{E_{n}}$ 存在。

由上面（2）的性質，結合集合列極限和數列的極限存在的定義可證。

Section 3 環和代數

定義4 （環）

定義集族 $Rsubseteq mathscr{P}(X)$ 為環(ring)，如果滿足：

$(1) varnothingin R$

$(2) A,Bin RRightarrow A ackslash B in R$

$(3) A, B in R Rightarrow A cup B in R$

性質：

（1） $A_1,A_2,...A_nin RRightarrow igcup_{i=1}^{n}A_iin R$ (有限個 $A_i$ )

由定義中的（3）可證

（2） $A,B in R Rightarrow A cap B in R$

由定義中的（3）有 $A cap B=Aackslash( Aackslash B)in R$ （集合的交可用差集表示，用韋恩圖容易看出表示方法）

（3） $A_1,A_2,...A_nin RRightarrow igcap_{i=1}^{n}A_iin R$ (有限個 $A_i$ )

由上面性質的（2）可證

註：為什麼滿足上面定義的集族 $R$ 稱為「環」呢？因為若在 $R$ 上定義「 $+$ 」和「 $·$ 」運算為 $A+B=ADelta B$ （對稱差）, $A·B=A cap B$ ，那麼 $（R,+,·）$ 就是一個代數環

定義5 （代數）

定義集族 $R$ 為一個代數（algebra），如果 $R$ 是一個環，並且有 $Xin R$

定義6 （ $sigma$ 環）(讀作西格瑪環)

定義集族 $Rsubseteq mathscr{P}(X)$ 為 $sigma$ 環（ $sigma ring$ ），如果滿足：

$(1) varnothingin R$

$(2) A,Bin RRightarrow A ackslash B in R$

$(3) A_1,A_2,...in RRightarrow igcup_{i=1}^{infty}A_iin R$ （可數多個，不是有限個）

註： (1) 相比環， $sigma$ 環定義中的（3）要求可數多個 $A_i$ 的並屬於為 $sigma$ 環。

(2) $sigma$ 環也是環（只要在 $sigma$ 環定義中的（3）取 $A_{n+1},...=varnothing$ ）

定義7 （ $sigma$ 代數）

定義集族 $R$ 為一個 $sigma$ 代數（ $sigma$ algebra），如果 $R$ 是一個 $sigma$ 環，並且有 $Xin R$

$sigma$ 代數的性質：

（1） $A_1,A_2,...in RRightarrow igcap_{i=1}^{infty}A_iin R$

設 $A= igcup_{i=1}^{infty}A_iin R$ , $igcap_{i=1}^{infty}A_i=Aackslash igcup_{i}^{infty} (Aackslash A_i) in R$

(2) $A_1,A_2,...in RRightarrow overline{ ext{lim} } A_n ,underline{ ext{lim} } A_nin R$

$A_1,A_2,...in RRightarrow igcup_{k=1}^{infty}A_k, igcap_{k=1}^{infty}A_kin R$ ，因此 $overline {mathop {lim }limits_{n o infty } } { m{ }}{A_n} = igcap_{n=1}^{infty}igcup_{k=n}^{infty}{A_k} in R$

定理1(環的等價定義)

$egin{align*} R is a ring Leftrightarrow (1)& varnothing in R ; \ (2) & A, B in R Rightarrow A ackslash B in R \ (3) &A, B in R, Acap B= varnothing Rightarrow Acup B in R end{align*}$

" $Rightarrow$ "這個方向由ring的定義是顯然的；
「 $Leftarrow$ 」：ring定義中（1）和（2）都已經滿足，只需要驗證定義中（3）也滿足：
設 $A, B in R$ ，則 $A cup B=A cup ( Backslash A )in R$ （因為 $A , Backslash Ain R 且A cap Backslash A=varnothing$ ，由(3)就得到 $A cup ( Backslash A )in R$ ）

定理2 （代數的等價定義）

$egin{align*} R is an algebra Leftrightarrow (1)& varnothing in R ; \ (2) & A, B in R Rightarrow A cup B in R \ (3) &A in RRightarrow A^c in R end{align*}$

" $Rightarrow$ ": 由代數的定義（1)和（2）已經成立，驗證（3): 設 $A in R$ ,又因為 $X in R$ (定義)，故 $A^c=X ackslash A in R$ (定義）
" $Leftarrow$ "我們已經algebra定義中的兩個(1)和(2)，只需驗證(a) $X in R$ (b) $A, B in R Rightarrow Aackslash B in R$
設由(1) $varnothing in R$ ，由(3)有 $varnothing^c =X in R$
再設 $A,B in R$ , $A ackslash B =A cap B^c=(A^c cup B)^c in R$

定理3 ( $sigma$ 環的等價定義)

$egin{align*} R is a sigma ring Leftrightarrow (1)& varnothing in R ; \ (2) & A, B in R Rightarrow A ackslash B in R \ (3) &{A_n} in R & A_icap A_j=varnothing forall i e j Rightarrow igcup_{n=1}^{infty} A_nin R end{align*}$

" $Rightarrow$ "這個方向由 $sigma$ 環的定義顯然成立
「 $Leftarrow$ 」條件(1)(2)(3)已經滿足了 $sigma$ 環的定義中的(1)和(2)，驗證也滿足(3):
設 $A_1,A_2,...in R$ ，則 $igcup_{n=1}^{infty} A_n=A_1 cup (A_2ackslash A_1) cup(A_3ackslash A_2ackslash A_1) cupcdots in R$ (由(2)和(3))

定理4 ( $sigma$ 代數的等價定義)

$egin{align*} R is a sigma algebra Leftrightarrow (1)& varnothing in R ; \ (2) & A, B in R Rightarrow A ackslash B in R \ (3) &{A_n} in R & A_icap A_j=varnothing forall i e jRightarrow igcup_{n=1}^{infty} A_nin R \ (4) & X in R end{align*}$

例子1：設 $X$ 為全空間，則 $mathscr{P} (X)$ 是一個環代數 $sigma$ 環 $sigma$ 代數。

例子2： 在概率論中，整個空間 $X$ ={所有可能出現的結果}， $sigma$ 代數中的元素就是「事件」。參考以下鏈接：

請問σ-代數（sigma-algebra）的含義是什麼，能否舉例說明？?

www.zhihu.com

Section 4 由集族生成的環/代數/ $sigma$ 環/ $sigma$ 代數

定義8 （由集族成的環）

設有集族 $Dsubseteqmathscr{P} (X)$ ，讓 $R_0$ 為所有包含 $D$ 的環的交，那麼就說環 $R_0$ 由 $D$ 生成(generated)，表示為 $R(D)$ （即 $R_0=R(D)$ ）。

類似的，可以定義集族生成的代數/ $sigma$ 環/ $sigma$ 代數。

註：

(1)任意個環的交仍為環

設有環列 ${R_alpha }$ ，現在證明 $igcap_{alpha} R_alpha$ 也是環，只需驗證環的三個條件即可：
(1) $forall alpha ,varnothing in R_alpha Rightarrow varnothing in igcap_alpha R_alpha$
(2) $ext{Let} A,B in igcap_alpha R_alphaRightarrow forall alpha , A,B in R_alpha Rightarrow Aackslash B in R_alpha ,forall alpha Rightarrow Aackslash B inigcap_alpha R_alpha$
(3) $ext{Let} A,B in igcap_alpha R_alphaRightarrow forall alpha , A,B in R_alpha Rightarrow Acup B in R_alpha ,forall alpha Rightarrow Acup B inigcap_alpha R_alpha$

(2)包含集族 $D$ 的環是存在的，比如 $mathscr{P} (X)$

(3) $R_0=R(D)$ 是包含集族 $D$ 的環中最小的一個（因為 $R(D)$ 是所有包含 $D$ 的環的交）

(4) 這個定義是抽象的，便於證明。若要從給定的集族 $D$ 構造出 $R(D)$ ，則只需對 $D$ 中的每一個元素之間執行 $cap, cup, ackslash$ 運算。

$riangle$ 例子設 $X=R$ , $D={[0,2], [1,3]}$ ,求由 $D$ 生成的環 $R(D)$

我們來找 $R(D)$ 中的元素。
(1)因為 $R(D)$ 是環，故 $varnothing in R(D)$
(2)因為 $R(D)supseteq D$ ，所以 $[0,2], [1,3] in R(D)$
(3)由定義" $A,B in R(D) Rightarrow Aackslash Bin R(D)$ "可知 $[0,2], [1,3] in R(D) Rightarrow [0,1)=[0,2]ackslash [1,3] in R(D),(2,3]=[1,3]ackslash [0,2] in R(D)$
(4）由定義" $A,B in R(D) Rightarrow Acup Bin R(D)$ "可知 $[0,3]=[0,2]cup [1,3] in R(D), [0,1) cup (2,3] in R(D)$
(5)由環的性質「 $A,B in R Rightarrow A cap B in R$ 」可知 $[1,2]=[0,2] cap[1,3] in R(D)$
(6)對上述 $R(D)$ 中的元素之間執行 $cap, cup, ackslash$ 運算，不能再生成新的元素了，因此由 $D$ 生成的環 $R(D)={ varnothing, [0,2],[1,3],[0,1),(2,3],[0,3],[0,1) cup(2,3],[1,2] }$