Ricci流解的長時間存在性，有限時間奇點的分析

05-18

來自專欄數學討論小組

這篇文章是 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci 的第四部分。這篇文章主要介紹兩部分內容：一、關於Ricci流解的長時間存在性的一個基本結果，二、Ricci流有限時間奇點的分析。

這篇文章主要參考了 [1] 和 [3]。

一、關於Ricci流解的長時間存在性的一個基本結果

【定理1】設 $g(t), tin [0,T)$ 為 $n$ 維閉流形 $M$ 上Ricci流的解，且 $T$ 為解的最大存在時間。如果 $T<+infty$ ，則 $limsup_{t o T} ({max_{xin M} |Rm(x,t)|})=+infty$ 。

【注1】1. 這個結果是一個一般性的結果，對於 $n$ 維流形都成立。

2. 由定理1我們可以知道，若存在與時間無關的常數 $C>0$ ，使得 $|Rm|leq C,forall tin[0,T)$ ，則 $T=+infty$ 。因此，如果曲率張量的模有一個一致的控制，那麼Ricci流的解是長時間存在的，這是長時間存在性的一個判定方法。

【證明】記 $M(t)=max_{xin M}{|Rm(x,t)}|$ ，我們用反證法，即假設 $T<+infty$ 且 $limsup_{t o T}M(t)<+infty$ 。此時，存在與時間無關的常數 $C>0$ ，使得 $M(t)leq C, forall tin [0,T)$ ，因此 $|Rm|leq C, forall tin[0,T)$ 。

第一步，證明當 $t o T$ 時， $g(t)$ 一致收斂於一個連續的、對稱正定的二階協變張量 $g(T)$ ：首先我們指出一個一般的不等式 $|Ric|^2leq n|Rm|^2$ ，這可以在任意一點處的一個正交標架下計算（實際上這就是trace不等式）： $|Ric|^2=sum_{i,j}R_{ij}^2=sum_{i,j}(sum_kR_{kij}^k)^2leq nsum_{i,j}sum_k(R_{kij}^k)^2leq nsum_{i,j,k,l}(R_{ijk}^l)^2=n|Rm|^2$ 。因此，由 $|Rm|leq C$ 可得 $|partial_tg|=2|Ric|leq C_1$ ，其中 $C_1>0$ 是不依賴於時間的常數。

對於任意的 $vin T_xM,xin M$ ，令 $|v|_t=sqrt{g(x,t)(v,v)}$ ，於是 $frac{d}{dt}|v|_t^2=(partial_tg(x,t))(v,v)$ ，且 $|frac{d}{dt}log|v|_t^2|=frac{(partial_tg(x,t))(v,v)}{|v|_t^2}leq |partial_tg(x,t)|leq C_1$ 。所以對於任意 $0leq au< heta<T$ ， $|log({|v|_ heta^2}/{|v|_ au^2})|leqint_ au^ heta|frac{d}{dt}log|v|_t^2|dtleq C_1( heta- au)$ 。由這個不等式可得到兩個估計： $|v|_t^2$ 有上界， $|v|_t^2leq|v|_0^2exp(C_1t)leq|v|_0^2exp(C_1T)$ ；並且 $|v|_ heta^2/|v|_ au^2 o 1; ( heta, au o 1)$ 。由這兩個估計可知 $||v|_ heta^2-|v|_ au^2|=|v|_ au^2 imes|frac{|v|_ heta^2}{|v|_ au^2}-1| o 1; ( heta, au o 1)$ ，故由Cauchy收斂定理可知，存在實數 $|v|_T^2$ ，使得 $|v|_t^2 o |v|_T^2; (t o T)$ 。又注意到：第一， $|v|_tgeq 0Rightarrow |v|_Tgeq 0, forall vin T_xM$ ；

第二，當 $v=0$ 時 $|v|_tequiv 0Rightarrow |v|_T=0$ ，而當 $v e 0$ 時又利用 $|log({|v|_ heta^2}/{|v|_ au^2})|leq C_1( heta- au)$ 可得下界估計 $|v|_t^2geq |v|_0^2exp(-C_1t)geq |v|_0^2exp(-C_1T)Rightarrow |v|_T^2geq |v|_0^2exp(-C_1T)>0$ ；第三， $|v+w|_tleq |v|_t+|w|_tRightarrow |v+w|_Tleq |v|_T+|w|_T,forall v,win T_xM$ ；第四， $|lambda v|_t=|lambda||v|_tRightarrow |lambda v|_T=|lambda||v|_T, forall vin T_xM, lambdainmathbb R$ 。因此 $|cdot|_T$ 是一個模長。

現在，如果 $V$ 是 $M$ 上的連續切向量場，則利用上面的結果我們可以得到兩個與 $xin M$ 無關的一致的控制： $|V(x)|_t^2leq (max_{xin M}|V(x)|_0^2)exp(C_1T)$ ，以及 $|log({|V(x)|_ heta^2}/{|V(x)|_ au^2})|leq C_1( heta- au)$ 。因此利用類似上面的方法可得，在 $t o T$ 時， $|V(x)|_t^2$ 以不依賴於 $xin M$ 的方式一致收斂於 $M$ 上的連續函數 $|V(x)|_T^2$ 。同時，由 $t$ 時刻的平行四邊形公式 $|V(x)+W(x)|_t^2+|V(x)-W(x)|_t^2=2(|V(x)|_t^2+|W(x)|_t^2),forall xin M$ ，令 $t o T$ 可得 $T$ 時刻也滿足平行四邊形公式，因此模長 $|cdot|_T^2$ 可以由一個內積 $g(T)$ 誘導，即令 $g(x,T)(V(x),W(x))=frac14(|V(x)+W(x)|_T^2-|V(x)-W(x)|_T^2),forall xin M$ 。因為 $|V|_t^2$ 一致收斂於 $|V|_T^2$ ，故 $g(t)$ 也一致收斂於 $g(T)$ ；利用 $|cdot|_T^2$ 在 $M$ 上連續可知 $g(T)$ 也連續。故 $g(T)$ 是 $M$ 上的一個連續的、對稱正定的二階協變張量。

第二步，證明 $g(T)$ 實際上是 $C^infty$ 的，從而 $g(T)$ 成為 $M$ 上的黎曼度量，且 $g(t)$ $C^infty$ 收斂於 $g(T)$ ：由於 $M$ 為閉流形，我們可以取 $M$ 上有限個適當的局部坐標鄰域覆蓋 $M$ 滿足：第一，每個局部坐標鄰域都包含在一個更大的緊的局部坐標鄰域內，這樣 $t=0$ 時刻的所有幾何量的絕對值在每一個局部坐標系中都是有界的，例如 $|g_{ij}(0)|leq C_1,|g^{ij}(0)|leq C_2,|Gamma_{ij}^k(0)|leq C_3$ 等等；第二， $t=0$ 時刻的模長 $|cdot|_0$ 與每一個局部坐標系下的歐氏模（記為 $|V|=sqrt{sum_{i=1}^n(V^i)^2}$ ，其中 $V$ 為切向量）都是等價的，且相差倍數為常數 $C>0$ ， $C$ 對每個局部坐標系都一致： $C^{-1}|V|leq |V|_0leq C|V|$ 。注意到上面我們已經證明了 $|v|_0^2exp(-C_1T)leq|v|_t^2leq|v|_0^2exp(C_1T)$ ，這就是說明了 $|cdot|_t$ 與 $|cdot|_0$ 等價，相差的倍數與 $t$ 無關，從而 $|cdot|_t$ 也與 $|cdot|$ 是等價的，相差的倍數也與 $t$ 無關。

要證明 $g(T)$ 是 $C^infty$ 的，只需在上述的每一個局部坐標系 $(U;x^i)$ 下證明 $partial^alpha g_{ij}(t)$ 在 $t o T$ 時一致收斂即可，其中 $alpha$ 為任意多重指標， $partial^alpha$ 代表對相應的局部坐標 $x^i$ 求偏導數。這是因為由數學分析的定理可知，光滑函數 $g_{ij}(t)$ 一致收斂於 $g_{ij}(T)$ 且所有一階偏導數 $partial^alpha g_{ij}(t);(|alpha|=1)$ 一致收斂時，我們可以得到 $g_{ij}(T)$ 的所有一階偏導數連續，且 $partial^alpha g_{ij}(t)$ 一致收斂於 $partial^alpha g_{ij}(T);(|alpha|=1)$ 。對於二階偏導數、三階偏導數等也是類似的。因此當 $partial^alpha g_{ij}(t)$ 對任意多重指標 $alpha$ 都一致收斂時，可得 $g_{ij}(T)$ 的所有階偏導數都連續，也就是說 $g_{ij}(T)$ 是光滑函數，從而 $g(T)$ 在覆蓋 $M$ 的局部坐標系下的分量都是光滑的，所以 $g(T)$ 是 $C^infty$ 的。同時在上述每一個局部坐標系下 $partial^alpha g_{ij}(t)$ 一致收斂於 $partial^alpha g_{ij}(T)$ ，於是 $g(t)$ $C^infty$ 收斂於 $g(T)$ 。

要證明 $partial^alpha g_{ij}(t)$ 一致收斂，我們首先有 $|partial^alpha g_{ij}( heta)-partial^alpha g_{ij}( au)|=|int_ au^ heta [frac{d}{dt}partial^alpha g_{ij}(t)]dt|=2|int_ au^ hetapartial^alpha R_{ij}dt|leq2int_ au^ heta|partial^alpha R_{ij}|dt$ 。（以下常數 $C>0$ 可以在不同式子中代表不同的值，且都不依賴於時間和局部坐標系）因此我們只需證明，對任意多重指標 $alpha$ ，存在與時間和局部坐標系無關的常數 $C>0$ 使得 $|partial^alpha R_{ij}|leq C$ ，那麼就有 $|partial^alpha g_{ij}( heta)-partial^alpha g_{ij}( au)|leq 2int_ au^ heta|partial^alpha R_{ij}|dtleq 2C( heta- au) o 0; ( heta, au o 0)$ ，故由Cauchy收斂定理可得到 $partial^alpha g_{ij}(t)$ 一致收斂。

由數量曲率的梯度估計，曲率張量高階協變微分的估計中最後關於曲率張量的高階協變微分的估計，我們可得 $|Rm|leq CRightarrow | abla^nRm|leq C$ ，因此關鍵在於將關於高階協變微分的估計 $| abla^nRm|leq C$ 轉化為局部坐標系下關於偏導數估計 $|partial^alpha R_{ij}|leq C$ 。由trace不等式我們可以得到 $| abla^nRic|leq C$ ，先看一階的情形： $abla_kR_{ij}=partial_kR_{ij}-Gamma_{ki}^lR_{lj}-Gamma_{kj}^lR_{il}$ ，故取絕對值 $|partial_kR_{ij}|leq| abla_kR_{ij}|+|Gamma_{kj}^l||R_{il}|+|Gamma_{ki}^l||R_{lj}|$ 。注意到，局部坐標系的選取使得 $|cdot|_t$ 與局部坐標系下的歐氏模 $|cdot|$ 是等價的，且相差的倍數與時間無關，於是它們在一般的張量上誘導的模也是等價的，相差的倍數也與時間無關（註：可以在將 $g_{ij}$ 特徵值對角化的歐氏模正交標架下驗證）。因此對幾何量的絕對值，有以下的估計 $| abla_kR_{ij}|leq| abla Ric|leq C| abla Ric|leq C, |R_{ij}|leq|Ric|leq C|Ric|leq C, forall i,j,k$ 。因此我們只需要估計絕對值 $|Gamma_{ij}^k|$ 即可： $|partial_tGamma_{ij}^k|=|g^{kl}(- abla_iR_{jl}- abla_jR_{il}+ abla_lR_{ij})|leq Cmax_{k,l}|g^{kl}(t)|$ ， $|partial_tg^{kl}|=|2R^{kl}|leq C|Ric|leq CRightarrow |g^{kl}(t)|leq|g^{kl}(0)|+Ctleq C+CT$ ，從而 $|partial_tGamma_{ij}^k|leq C,|Gamma_{ij}^k(t)|leq|Gamma_{ij}^k(0)|+Ctleq C+CT$ ，從而我們完成了一階偏導數的估計。

高階偏導數的估計是完全類似的，用歸納法就可以完成，只不過需要估計額外的項 $|partial^alphaGamma_{ij}^k|$ 。以二階偏導數估計為例，注意到 $abla_l abla_kR_{ij}=partial_l( abla_kR_{ij})-Gamma_{kl}^h abla_hR_{ij}-Gamma_{il}^h abla_kR_{hj}-Gamma_{jl}^h abla_kR_{ih} \ =partial_lpartial_kR_{ij}-(partial_lGamma_{ki}^p)R_{pj}-(partial_lGamma_{kj}^p)R_{ip}+...$ ，其中省略號的部分是已經估計過的項。於是，我們只需估計 $|partial_lGamma_{ij}^k|,forall i,j,k,l$ 即可： $partial_tpartial_lGamma_{ij}^k=partial_l(partial_tGamma_{ij}^k)$ ，注意到 $partial_tGamma_{ij}^k$ 是張量，故有 $abla_l(partial_tGamma_{ij}^k)=partial_l(partial_tGamma_{ij}^k)-Gamma_{il}^hcdotpartial_tGamma_{hj}^k-Gamma_{jl}^hcdotpartial_tGamma_{ih}^k+Gamma_{hl}^kcdotpartial_tGamma_{ij}^h=partial_l(partial_tGamma_{ij}^k)+...$ ，同時 $abla_l(partial_tGamma_{ij}^k)=g^{kp}(- abla_l abla_iR_{pj}- abla_l abla_jR_{ip}+ abla_l abla_pR_{ij})$ 用二階協變微分的估計 $| abla^2Ric|leq C$ 以及 $|g^{kl}|leq C$ 就能控制，因此最終 $|partial_tpartial_lGamma_{ij}^k|leq C,|partial_lGamma_{ij}^k(t)|leq|partial_lGamma_{ij}^k(0)|+Ctleq C+CT$ ，從而我們完成了二階偏導數的估計。更高階偏導數中出現的 $|partial^alphaGamma_{ij}^k|$ 也可逐步使用這裡的方法估計，於是我們完成了第二步。

第三步，導出矛盾，完成定理的證明：由於 $T$ 時刻 $g(T)$ 為 $M$ 上的黎曼度量，因此由Ricci流的短時間存在性可知， $partial_that g=-2Ric_{hat g}, hat g(0)=g(T)$ 有短時間的光滑解，設解的存在區間為 $[0,varepsilon)$ 。於是令 $h(t)=g(t),forall tin[0,T]; h(t)=hat g(t-T),forall tin[T,T+varepsilon)$

，則 $h(t)$ 定義在 $[0,T+varepsilon)$ 上，且由 $t o T^-$ 時 $g(t)$ $C^infty$ 收斂於 $g(T)$ 可知 $h(t)$ 在 $T$ 時刻的拼接也是光滑的，它是Ricci流的整體光滑解，這與 $T$ 是Ricci流的最大存在時間矛盾，因此定理1得證。（//只證明了關於空間方向光滑，忘記證明關於時間方向光滑了）

【推論1】定理1中的結論可改進為 $lim_{t o T}(max_{xin M}|Rm(x,t)|)=+infty$ 。

【證明】用反證法。若不然，則存在常數 $C>0$ 以及一列嚴格單調上升的時間 $t_i o T;(igeq 1)$ 使得 $M(t_i)leq C$ ，其中 $M(t)=max_{xin M}|Rm(x,t)|$ 。取定一個充分大的 $i$ ，使得 $T-frac1{16C}leq t_i<T$ 。由下面的引理1可知 $M(t)leq 2M(t_i)leq 2C, forall tin[t_i,T]$ ，這與定理1中得到的 $limsup_{t o T}M(t)=+infty$ 矛盾，故命題得證。

【引理1】（Doubling time estimate，[2]）設 $g(t),tin[0,T)$ 為閉流形 $M$ 上Ricci流的解，且 $t=0$ 時 $|Rm|leq C$ ，則 $|Rm|leq 2C, forall tin[0,frac1{16C}]$ 。

【注2】這個引理的證明並不困難，屬於數量曲率的梯度估計，曲率張量高階協變微分的估計中最後部分的內容，有機會再一起補充完整。這個引理說明當 $|Rm|$ 在某一時刻上界被 $C$ 控制時， $|Rm|$ 不能增長太快，要想它加倍至少要經過一個短時間 $frac1{16C}$ 。

【推論2】設 $g(t),tin[0,T)$ 為閉三維流形 $M$ 上Ricci流的解， $T$ 為解的最大存在時間，且 $Ric(0)>0$ ，則 $lim_{t o T} R_{max}(t)=+infty$ ，其中 $R_{max}(t)=max_{xin M}R(x,t)$ 。

【證明】首先我們指出，在三維流形上有一個一般的不等式 $|Ric|geq c|Rm|$ ，其中 $c>0$ 為絕對常數。這是因為利用Weyl張量為0的條件 $0=W_{ijkl}=R_{ijkl}+frac R2(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl})-(R_{il}g_{jk}+R_{jk}g_{il}-R_{ik}g_{jl}-R_{jl}g_{ik})$ 在單位正交標架下我們可以得到 $|Rm|^2=sum_{i,j,k,l}R_{ijkl}^2=sum_{i,j,k,l}[-frac R2(delta_{il}delta_{jk}-delta_{ik}delta_{jl})+(R_{il}delta_{jk}+R_{jk}delta_{il}-R_{ik}delta_{jl}-R_{jl}delta_{ik})]^2 \ leqsum_{i,j,k,l}6 imes(frac {R^2}4delta_{il}^2delta_{jk}^2+frac{R^2}4delta_{ik}^2delta_{jl}^2+R_{il}^2delta_{jk}^2+R_{jk}^2delta_{il}^2+R_{ik}^2delta_{jl}+R_{jl}^2delta_{ik}^2) \ =6 imes(2 imesfrac{R^2}4cdot3cdot3+4 imes|Ric|^2cdot3)$ ，再利用trace不等式 $R^2leq3|Ric|^2$ 即可得到 $|Ric|geq c|Rm|$ 的估計。

現在，由於我們已經證明過 $Ric(0)>0$ 時， $R(0)>0$ 且 $T<+infty$ ，因此，由推論1 $lim_{t o T}(max_{xin M}|Rm(x,t)|)=+infty$ ，從而由 $|Ric|geq c|Rm|$ 可得 $lim_{t o T}(max_{xin M}|Ric(x,t)|)=+infty$ 。最後我們證明過 $Ric>0$ 在Ricci流下是保持的，此時 $R>0$ 且 $|Ric|^2leq R^2$ ，故 $lim_{t o T}R_{max}(t)=+infty$ ，證畢

二、Ricci流有限時間奇點的分析

現在，我們可以得出在 $t o T$ 時Ricci流的一些幾何性質，這將在分析規範化的Ricci流的幾何性質時用到。

【定理2】設 $g(t),tin [0,T)$ 為三維閉流形 $M$ 上Ricci流的解， $T$ 為最大存在解時間，且 $Ric(0)>0$ ，則 $lim_{t o T}frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1$ ，其中 $R_{max}(t)=max_{xin M}R(x,t), R_{min}(t)=min_{xin M}R(x,t)$ 。

【證明】首先由推論2， $R_{max}(t) o +infty; (t o T)$ ，再利用數量曲率的梯度估計，曲率張量高階協變微分的估計中數量曲率的梯度估計 $frac{| abla R|^2}{R^3} leq eta R^{-2alpha}+CR^{-2}; (0<2alpha<1)$ ，可以對數量曲率的變化速度進行控制，具體如下：

$| abla R|^2leq eta R^{3-2alpha}+CR$ ，且存在充分接近於 $T$ 的時刻 $heta_1$ 使得 $CR_{max}(t)leq CR_{max}^{3-2alpha}(t),forall tin[ heta_1,T)$ ，因此 $| abla R|leq (eta+C) R_{max}^{3/2-alpha}$ 。現在對於一個固定的時刻 $tin[ heta_1,T)$ ，設 $x_1in M$ 使得 $R(x_1,t)=R_{max}(t)$ ，並考慮 $t$ 時刻 $M$ 上的測地球 $B=B(x_1,frac1{varepsilonsqrt{R_{max}(t)}})$ ，其中 $varepsilon>0$ 為待定常數。注意到 Ricci曲率張量大於0的3維閉流形上的Ricci流中最後我們證明了存在常數 $eta>0$ 使得 $Ricgeq 2eta^2Rg$ ，即Ricci曲率有下界 $2eta^2R_{min}(0)>0$ ，故由Myers定理 $M$ 是緊的，因此是完備的。

於是對於任意一點 $x_2in B$ ，存在從 $x_2$ 到 $x_1$ 的 $B$ 中最短測地線 $gamma:[0,L] o M$ ，其中 $L=d(x_1,x_2)leqfrac1{varepsilonsqrt{R_{max}(t)}}$ 。注意到 $R_{max}(t)-R(x_2)=int_0^L[frac d{dt}R(gamma(t))]dt=int_0^L abla R(gamma(t))cdotgamma(r)dt \ leqint_0^L| abla R(gamma(t))|cdot 1dtleq Lcdot (eta+C) R_{max}^{3/2-alpha}leq frac{eta+C}varepsilon R_{max}^{1-alpha}$ ，因此 $R(x_2)geq(1-frac{eta+C}varepsilon R_{max}^{-alpha})R_{max}$ 。由於 $x_2in B$ 任意，故 $inf_{xin B}R(x,t)geq(1-frac{eta+C}varepsilon R_{max}^{-alpha})R_{max}$ 。現在再取充分接近於 $T$ 的時刻 $heta_2in[ heta_1,T)$ 使得 $frac{eta+C}varepsilon R_{max}^{-alpha}(t)leqvarepsilon,forall tin[ heta_2,T)$ ，因此 $inf_{xin B}R(x,t)geq(1-varepsilon )R_{max}(t),forall tin [ heta_2,T)$ 。

現在再由 $Ricgeq 2eta^2Rg$ 以及Myers定理可知，上述的從 $x_1$ 出發的最短測地線 $gamma$ 在長度 $L(gamma)>fracpi{etasqrt{inf_{xin B}R(x,t)}}$ 時不可能保持最短。注意到 $fracpi{etasqrt{inf_{xin B}R(x,t)}}leq fracpi{etasqrt{(1-varepsilon)R_{max}(t)}}$ ，如果我們取定待定常數 $varepsilon>0$ 充分小使得 $fracpi{etasqrt{(1-varepsilon)}}<frac1varepsilon$ ，此時 $varepsilon$ 可以只由 $g(0)$ 決定，那麼 $fracpi{etasqrt{inf_{xin B}R(x,t)}}< frac1{varepsilonsqrt{R_{max}(t)}}$ 。

若 $M$ 上存在一點 $y$ 處於測地球 $B$ 之外，由 $M$ 完備可知，存在一條從 $x_1$ 到 $y$ 的最短測地線 $gamma_1$ 。由於該測地線長度 $L(gamma_1)=d(x,y)geq frac1{varepsilonsqrt{R_{max}(t)}}$ ，因此 $gamma_1$ 上存在一點 $z$ 使得 $gamma_1$ 上從 $x_1$ 到 $z$ 的部分 $gamma_1|_{[x_1,z]}$ 仍然是最短測地線，包含在 $B$ 中，且長度 $L(gamma_1|_{[x_1,z]})>fracpi{etasqrt{inf_{xin B}R(x,t)}}$ ，這與之前說的在長度 $L>fracpi{etasqrt{inf_{xin B}R(x,t)}}$ 時測地線 $gamma$ 不可能保持最短矛盾。因此 $M=B$ 。因為我們之前在 $B$ 中建立了不等式 $inf_{xin B}R(x,t)geq(1-varepsilon )R_{max}(t),forall tin [ heta_2,T)$ ，因此 $R_{min}(t)geq (1-varepsilon )R_{max}(t),forall tin [ heta_2,T)$ 。 $varepsilon>0$ 可以做到任意小，因此我們證明了 $lim_{t o T}frac{R_{min}(t)}{R_{max}(t)}=1$ ，命題得證。

【推論3】在定理2的條件下， $int_0^Tr(t)dt=+infty$ ，其中 $r=frac{int_M Rdmu}{int_M dmu}$ 。

【證明】首先我們設 $f$ 是以下ODE的解： $frac{df}{dt}=2R_{max}(t)f,f(0)=R_{max}(0)$ 。這個ODE總是有解的，因為 $R_{max}(t)$ 是關於 $t$ 的連續函數（註：可以這樣驗證：對於兩個充分接近的時刻 $t_1,t_2$ ，設 $R_{max}$ 分別在 $x_1,x_2$ 上達到，由 $R(x,t)$ 的連續性有 $R_{max}(t_1)=R(x_1,t_1)leq R(x_1,t_2)+varepsilonleq R_{max}(t_2)+varepsilon$ ，另一邊的不等式也可以同樣建立）。此時 $partial_t(f-R)=2R_{max}f-(Delta R+2|Ric|^2)$ 。注意到 $Ric>0$ 時 $|Ric|^2leq R^2$ ，故 $-2|Ric|^2geq -2R^2geq-2R_{max}R$ 。從而 $partial_t(f-R)geq Delta(f-R)+2R_{max}(f-R)$ 。因為在 $t=0$ 時 $f-Rgeq 0$ ，由函數的最大值原理可知 $f-Rgeq 0$ 在 $[0,T)$ 上都成立，從而 $f(t)geq R_{max}(t) o+infty; (t o T)$ 。同時我們有 $int_0^tR_{max}(s)ds=frac12int_0^t(frac1ffrac{df}{ds})ds=frac12[log f(t)-log f(0)] o+infty;(t o T)$ ，因此 $int_0^TR_{max}(t)dt=+infty$ 。最後，由定理2知， $R_{min}(t)/R_{max}(t) o 1; (t o T)$ ，因此存在充分接近於 $T$ 的時刻 $heta$ 使得 $R_{min}(t)geqfrac12R_{max}(t),forall tin[ heta,T)$ ，由於 $r$ 是數量曲率的積分平均值，故 $rgeq R_{min}(t)geqfrac12R_{max}(t),forall tin[ heta,T)$ 。故 $int_0^Tr(t)dtgeq int_ heta^Tr(t)dtgeqfrac12int_ heta^TR_{max}(t)dt=+infty$ 。其中 $int_ heta^TR_{max}(t)dt=+infty$ 是因為在緊區間 $[0, heta]$ 上 $R_{max}(t)$ 的積分為有限值，故 $int_0^TR_{max}(t)dt=+infty$ 減去一個有限值 $int_0^ heta R_{max}(t)dt<+infty$ 後仍為 $+infty$ 。至此，我們完成了推論3的證明。

【推論4】在定理2的條件下， $frac{|Ric-frac13 Rg|^2}{R^2} o 0; (t o T)$

【證明】由 Ricci曲率張量的夾擠估計我們可知 $frac{|Ric-frac13 Rg|^2}{R^2}leq CR^{-varepsilon}$ 。由於 $R_{max}(t) o +infty, R_{min}(t)/R_{max}(t) o 1; (t o T)$ ，故 $R o +infty; (t o T)$ ，因此 $frac{|Ric-frac13 Rg|^2}{R^2}leq CR^{-varepsilon} o 0;(t o T)$ ，證畢。

參考文獻

[1] Chow, Bennett; Knopf, Dan. The Ricci flow: an introduction. Mathematical Surveys and Monographs, 110. American Mathematical Society, Providence, RI, 2004.

[2] Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei. Hamiltons Ricci flow. Graduate Studies in Mathematics, 77. American Mathematical Society, Providence, RI; Science Press Beijing, New York, 2006.

[3] Hamilton, Richard S. Three-manifolds with positive Ricci curvature. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 255–306.