第十二期 【方程之聲】在方程的世界裡彈一根弦!

來自專欄 方程之聲

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【引言】

弦振動是器樂中最常見的振動方式。鋼琴、吉他、小提琴、二胡等等都是弦振動發出的聲音。弦振動也是我在數學物理方程里接觸的第一個數學物理模型。它的解也許你已經在數學物理方程的書本上見過，但是你知道它的聲音是什麼樣的嗎？這一期彈一彈弦振動的方程之聲。

【建模】

在數學物理方程中，弦振動方程考慮的是這樣一個問題。在兩端固定且拉緊的均勻的柔軟的弦，給定初始條件下，在平衡位置做微小的橫振動。假設弦長為L，弦的線密度為ρ，弦內部的張力為T，弦在橫向的位移為u。

在弦中取很小的一段微元dx，它的質量為ρdx，加速度為 ，它受到橫向的作用力大小為 ，因此由牛頓第二定律得：

假設我們在弦的中點撥一下琴弦，弦會有一個初始變形。如下圖所示:

令 ，再加上邊界條件和初始條件，得：

【求解】

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首先，分離變數。

假設: 帶入方程得到：

，整理一下

原問題轉換為關於x,t的兩個相互獨立的方程的解，

然後，求解特徵值λ。根據邊界條件可知，只有當時 ，才能找到方程的解.

因此，方程的級數解是

最後，根據初始條件確定係數。

在這裡 ,所以

以下是重點

【見其解】

弦振動的解到底是什麼樣子的？

級數解的係數An搞的那麼複雜，其實就是弦初始位移的傅里葉級數的係數。在這裡面弦初始位移就是一個三角波，在第二期就介紹過三角波傅里葉級數的係數，當然這裡也可以自己再計算一下。因為在弦的中點（x=L/2）處撥動琴弦，可以得到：

....

弦振動方程的解可以寫成無窮級數的形式，當然現實中不可能考慮無窮多項。一般只考慮前面有限的一些項，把後面的一部分丟掉。這樣的就會產生一個截斷誤差，當考慮的項越多，截斷誤差就會越小。如果考慮前面50項(n<50)，可以得到這樣的振蕩圖像，已經非常接近方程的解。

上圖是由弦上的50個駐波按照一定的比例疊加而形成，以下列舉前8個駐波的振動形式。

【聞其聲】

現實生活中，我們聽到鋼琴或者吉他的音色，不完完全全是弦振動本身的音色，而是經過琴箱放大後的音色。琴箱的相當與一個聲音的濾波器，它會把一些共振的頻率放大。這裡我考慮這樣複雜的情況，單單討論一根弦的聲音。如果單獨的一根弦，他的振動方式知道了之後，我們耳朵聽見的究竟是哪部分的信號呢？

最簡單的方法，提取弦的某一點（這裡選取中點）的位移，把它當作聲音的信號。在這個例子中，中點的位移是一個三角波的波形。（音頻中可以聽到它的音色）

但這樣似乎太簡化了！我們聽到的聲音應該是弦上所有質點的振動疊加的結果。因此，對弦振動的位移進行積分，這樣得到的結果似乎更為靠譜！

積分後的波形是這樣：（音頻中可以聽到它的音色）

如果我們只取琴弦的中點，就可以聽到三角波的聲音，這個聲音的頻譜是呈~O(1/n^2)衰減。

如果我取積分作為我們聽到的聲音，這個聲音的頻譜是呈~O(1/n^3)衰減，也就是高頻的部分少，得到的聲音更為圓潤。

發現了一個規律，弦振動的音色是由方程中的An來決定。An就是弦初始形狀的Fourier級數，也就是弦振動的音色是由彈撥的那一瞬間弦的變形來決定。

彈奏的位置不同？

弦的音色完全由初始的變形決定。初始的變形在我們這個模型里只與撥弦的位置有關。剛才的例子裡面，我們彈撥琴弦的中點，在手指一挑的一瞬間，琴弦與變形前的位置構成了一個等腰三角形。如果我們撥弦的位置不在弦的中心，而是在弦的一側x=L/10處呢？那麼他的初始位移如下圖所示：

用同樣的方法可以得到它的Fouier級數解，取前50項得到這樣的弦振動圖像。

它是由50個駐波在弦上按照一定的比例疊加而形成，以下列舉了前8個駐波的振動形式。

如果取弦的中點的位置曲線，可以得到方波的形狀。（音頻中可以聽到它的音色）

但如果用積分得到的波形，接近於三角波的形狀。（音頻中可以聽到它的音色）

【啟示】

弦振動的音色是由弦初始的形狀而確定的。

在彈奏弦樂的時候，改變撥弦的位置可以改變音色。如果撥弦的位置在琴弦的中點，聲音會較為圓潤或發暗；如果撥弦的位置在琴弦的一側時，高頻的能量會比前者大，聲音會較為明亮或尖銳。有機會可以實驗一下看是不是這樣。

本期將弦振動的初始位移簡化成兩段直線。但是實際上它的情況會比較複雜，比如鋼琴的琴弦在受到音錘衝擊的下，初始變形可能會近似於衝擊函數。這個初始變形與音錘的材質（一般鋼琴的音錘是木質外包一層羊毛）以及演奏者的手法有關。對於鋼琴演奏者來說，需要通過手指的力度和感覺來控制鋼琴的音色，這是一種很高級的訓練。

當然這裡討論的都是理想化的線性模型，考慮振動的位移與弦長相比可以忽略不計，並且沒有阻尼，沒有色散。以後將介紹一個有阻尼的弦振動，那樣可能就更接近真實的情況了。

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