阿基米德螺旋公式的再認識

來自專欄 等距螺旋的演算法之路

阿基米德螺旋、漸開線螺旋、風螺旋是等距螺旋的典型特例，它們的計算公式可以統一用等距螺旋公式來表示。

等距螺旋的理論基礎是圓周運動與直線運動的疊加，它的形態與運動的方向、速度的大小有密切的關係。

假定圓周運動的速度為v，直線運動的速度為w，二者構成的等距螺旋的極坐標公式有下面三個：

若公式二的螺旋是順時針外擴的，則公式三表示的是逆時針外擴的螺旋。

（先來熱個身，插一段題外話）

等距螺旋公式與圓周公式的關係

當直線運動的速度w=0時，將得到ρ=r和α=θ，這剛好是圓的極坐標公式。也就是說，在沒有外部因素的干擾下，可以將圓看成為圓周運動的軌跡。

這裡還體現了等距螺旋公式的一個特點，那就是，等距螺旋公式中角度的起點是從直線與圓周相交的那點開始計算的。而以往的螺旋公式通常是從圓心點（阿基米德螺旋）、或近地點開始（漸開線）開始計算角度。

等距螺旋公式與阿基米德螺旋公式的關係

根據等距螺旋中直線與圓的位置關係，阿基米德螺旋的直線運動是穿過圓心的，因此，DA角的值為零。

代入等距螺旋公式可得：

ρ = r*((w/v)*θ+1) 或表示為ρ = (r*w/v)(θ + v/w)

α=θ

常見的阿基米德螺旋公式為ρ = a θ + b或者ρ = a θ。

對比等距螺旋生成的公式可以發現，常用的阿基米德螺旋公式中忽略了太多的參數細節，直接導致了對阿基米德螺旋中速度認知的偏差。

具體來看，等距螺旋θ值為零時，ρ = r，代表的是圓周上的一點。若用ρ = a θ來計算螺旋，θ值為零時，代表的是圓心點。兩個θ之間相差v/w弧度單位。

常用公式中的係數a，在等距螺旋中代表了r*w/v，即半徑乘以直線運動的速度除以圓周運動的速度。半徑的大小隱藏在了係數a中，絕大多數情況下，阿基米德螺旋中都沒有提及到特定的半徑。

若指定了較大的半徑，對於相同的係數a，相當於圓周運動速度v增加，而直線運動速度w減小，其計算結果是相同的。因此，在阿基米德螺旋中並不關心半徑倒底有多大，但半徑一定是不為零的。

根據等距螺旋公式可以看到，直線運動與圓周運動的速度並不單獨出現在公式中，而是以速度比的方式出現。也就是說，對於指定的半徑，不同的阿基米德螺旋之間的區別實際上是速度比不同而已。

舉個例子，如果旋轉的速度增大一倍，則旋轉周期T將縮小一倍，此時，若直線運動的速度也增大一倍，那麼在一個旋轉周期結束時，圓周會回到原來的位置上，而直線上運動了相同的距離，得到的是將同樣的螺旋線軌跡。

等速螺旋的定義中將速度限定為勻速，忽視了速度比的存在。因而等速螺旋無法解釋，在速度同時倍增時，螺旋保持不變這一情況。而等速度比才是等距螺旋更深層的特質。