群、環的一些基本概念

05-17

群、環的一些基本概念

最近遇到一些關於這方面的內容，想一起整理清楚

參考文獻：張禾瑞《近世代數基礎》

Wikipedia：Group (mathematics)

（一）群（group）

群的基本定義：

群是一個集合G 加上一個運算"·"，它結合任何兩個元素a和b而形成另一個元素，記為a·b。要成為群，這個集合和運算(G,· )必須滿足叫做群公理（group axioms）的四個要求：

（1）封閉性（closure）：對於所有G中a,b，運算a·b的結果也在G中。

（2）結合性（Associativity）：對於所有G中的a,b和c，等式 (a·b)·c=a· (b·c)成立。

（3）單位元（Identity element）：G中存在一個元素e，對於所有G中的元素a，等式

e·a = a·e = a 成立。

（4）逆元（Inverse element）：對於每個G中的a，存在G中的一個元素b使得

a·b=b·a=e。

注意：

（1）運算"·"不一定滿足交換律，即 $acdot b e bcdot a$ 。

（2）單位元和逆元是唯一的。

簡單推導：設 $emph{l}$ 和 $r$ 為元素 $a$ 的兩個逆元，下面推出 $emph{l}=r$ ，因為單位元的逆元為

自己，由逆元的唯一性可得單位元的唯一性。

證明： $emph{l}=emph{l} cdot e=emph{l} cdot (acdot r)=(lcdot a)cdot r=ecdot r=r$

其他關於群的概念：

（1）阿貝爾群（Abelian groups），又稱交換群/加群，即滿足交換律的群；

半群（Semigroups）：僅滿足群定義中封閉性與結合律；

幺半群（Monoid）：僅滿足群定義中封閉性與結合律與單位元。

（2）循環群（Cyclic groups）：

循環群是其所有元素都是特定元素a的冪的群。a稱為生成元或本原元。在乘法符號下，群的元素是： $dots,a^{-2},a^{-1},a^0=e,a,a^2,dots$ ,其中 $a^2=acdot a$ 。

（3）子群（Subgroup）:

H是G的一個子集，G的單位元在H中，且若 $h_1$ 和 $h_2$ 在H中，則 $h_1cdot h_2$ 和 $h_1^{-1}$ 也在其中，所以（H，·）為（G，·）的一個子群。

（4）群同態（Group homomorphisms）：

群同態是保持群結構的函數。兩個群(G, · ) 與(H, *)之間的函數 a: G → H 是同態，如果等式 $a(gcdot h)=a(g)ast a(h)$ 對於G中所有元素g、k都成立。這使得 $a(e_G)=e_H$ 以及 $a(g)^{-1}=a(g^{-1})$ 。

（5）群同構（isomorphic）：

兩個群G和H被稱為同構的，如果存在群同態 a: G → H 和 b: H → G ，使得先後以兩種可能的次序中每個次序）應用兩個函數分別等於G和H的恆等函數。就是說，對於任何G中的g和H中h，有 a(b(h)) = h 和 b(a(g)) = g 。

（6）陪集（Cosets）：

子群H定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把H平移了一個任意群元素g。用符號表示，H的包含g的左和右陪集分別是 $gH=left{gh,hin H ight}$ , $Hg=left{hg,hin H ight}$ 。

任何子群H的陪集形成了G的一個劃分；就是說所有左陪集的並集與G相等，而且兩個陪集要麼相等，要麼有空的交集。第一種情況 $g_1H=g_2H$ 出現當且僅當 $g_1^{-1}g_2in H$ ，就是說如果這兩個元素差異了H的一個元素。類似的考慮也適用於H的右陪集。H的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對於所有G中的g有 $gH=Hg$ ，則H被稱為正規子群。

（7）商群（Quotient groups）：

在由陪集形成的集合上可以賦予一個滿足群公理的運算而使之成為商群或因子群。這僅在子群是正規的時候才可行。給定任何正規子群N，商群定義為 $G ackslash N=left{gN,gin G ight}$ ,讀作「G 模N」。

這個集合從最初的群G繼承了一個群運算（有時叫做陪集乘法或陪集加法）：對於所有G中的g和h，(gN)· (hN) =（gh）N 。關聯任何元素g到它的陪集gN的映射G → G /N是群同態的想法，陪集 eN= N 充當了這個群的單位元，在商群中 $gN$ 的逆元是 $(gN)^{-1}=g^{-1}N$ 。

(二)環（Ring）

環的定義

集合R和定義於其上的二元運算 + 和·，(R, +, ·)構成一個環，若它們滿足：

（1）(R, +)形成一個交換群，其單位元稱為零元，記作『0』。即：

(R, +)是封閉的
(a + b) = (b + a)
(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
?a ?(?a) 滿足 a + ?a = ?a + a = 0

（2）(R, ·)形成一個半群，即：

(R, ·)是封閉的
(a·b)·c = a·(b·c)

（3）乘法關於加法滿足分配律：

a·(b + c) = (a·b) + (a·c)
(a + b)·c = (a·c) + (b·c)