微引力透鏡簡介

來自專欄 天文筆記

• 簡介

我們今天來說說微引力透鏡現象和它的基礎數學。

由Gravity by Hartle筆記：如何不學場方程就玩轉施瓦西度規之光線偏折可知，光線經過施瓦西度規周圍時，其方向會發生偏折，即

，其中r為光線到質量中心最小的距離。

假想有一個前景恆星，當其經過一個背景恆星前面時，背景恆星發出的光，會有一部分被前景恆星偏折，然後正好偏到地球上來。我們就會發現背景恆星好像突然變亮了一般。這就是微引力透鏡現象。

• 透鏡公式

上圖畫出了微引力透鏡系統。O為我們，D為前景恆星，S為背景恆星。其中 上面帶個小尖尖的那個角（原諒我懶得查怎麼用latex打。。我們就叫它為 吧）即為偏折角。 為成的像的角位置， 為背景恆星到前景恆星的角位置。然後我們想導出各種觀測量 和物理量 之間的關係，於是呢，我們把最右邊的堅直的虛線和線段 加起來，正好等於 ，即

(大家要知道現在所有的角都很小可以近似成距離的比值)

同時除以 ，用 代替 ，再定義個愛因斯坦環角大小 ，我們得到

透鏡公式

於是我們得到了透鏡公式~

• 成像性質

我們把透鏡公式用愛因斯坦環角度歸一化，即定義 ，透鏡公式變成了

。

如果前景恆星正好正好正好經過背景恆星的正前方，也就是 ，那麼系統成的像就會對稱成一個圓環型，其角大小正好是之前定義的 。

如果前景恆星不是正好經過背景恆星正前方，那麼就會成兩個像，

，其中+表示像在愛因斯坦環外，而-表示在其內。

兩個像的角距離為

• 亮度放大率

在背景恆星周期的一小塊區域里，單位面積通過的光流量是一樣的，所以亮度放大率就等於有多少多出來的光從成的像的區域透了過來。即亮度放大率等於面積放大率。

考慮背景恆星成一個薄環狀，有著圓心角 和半徑變化 ，源的面積為 其一左一右成了像，面積為 ，把透鏡公式的兩個解帶進來就會發現，放大率為

。

但是呢，成的兩個像離得太近，我們又分不清，所以其實觀測到的是個總放大率

。

估計一下，如果前景恆星正好從愛因斯坦環上過，那麼放大率大概是1.342倍，對於測光觀測來說很容易就看到了。

• 光變曲線

我們考慮 隨時間的變化如上圖所示為

。帶入放大率公式，即可得到光變曲線！