分析和代數原理(5)

05-17

分析和代數原理(5)

來自專欄物理學原理概述

賦范線性空間

稱實數域或複數域 $K$ 上的線性空間 $X$ 是賦范線性空間，若定義了範數 $lVert cdot Vert :X omathbb{R}$ ，使 $forall x,yin X,forall lambdain K$ ，滿足 $(lVert x Vert=0)Leftrightarrow(x=0)$ ， $lVert lambda x Vert=|lambda|lVert x Vert$ ， $lVert x+y VertleqslantlVert x Vert+lVert y Vert$ ；其中 $|lambda|=|a+mathrm{i}b|=left{egin{matrix} sqrt{a^2},lambdain mathbb{R}\sqrt{a^2+b^2},lambdainmathbb{C}end{matrix} ight.$ 是實數或複數的模。易驗證任意向量的範數非負。用範數導出的度量 $d(x_1,x_2)=lVert x_1-x_2 Vert$ 被稱為自然度量。若賦范線性空間關於它的自然度量是完備度量空間，則稱其為Banach空間。

稱複數域上的線性空間 $X$ 中給出了內積 $(cdot|cdot):X imes X omathbb{C}$ ，若 $forall x_1,x_2,x_3in X,forall lambdainmathbb{C}$ ， $(x_1|x_2)=overline{(x_2|x_1)}$ ， $(lambda x_1|x_2)=lambda(x_1|x_2)$ ， $(x_1+x_2|x_3)=(x_1|x_3)+(x_2|x_3)$ ， $(x_1|x_1)geqslant0$ ， $((x_1|x_1)=0)Leftrightarrow(x_1=0)$ 。內積和範數可以通過定義式 $lVert x Vert=sqrt{(x|x)}$ 聯繫起來。

定理(Cauchy-Bunyakovsky) $forall x,yin X,|(x|y)|leqslant lVert x VertcdotlVert y Vert$ 其中等號成立當且僅當 $langle x angle=langle y angle$ 。

定理(Pythagoras) $forall x,yin X$ ， $|x+y|^2=|x|^2+|y|^2$ 。

由Pythagoras定理立馬推出

命題 $forall x,yin X$ ， $|xpm y|leqslant |x|+|y|$ 。

一般定義 $lVert A Vert=sup_{(x_1,cdots,x_n),(x_1,cdots,x_n) e(0,cdots,0)} frac{lVert A(x_1,cdots,x_n) Vert}{lVert x_1 VertcdotslVert x_n Vert}$ 是從賦范線性空間 $X_1,dots,X_n$ 的直積映到賦范線性空間 $Y$ 的多重線性運算元 $A:X_1 imescdots imes X_n o Y$ 的範數，其中 $x_iin X_i$ ，上確界是對所有非零向量 $(x_1,cdots,x_n)$ 而言。為了區分運算元和向量的範數，一般向量的範數簡寫成 $|x|$ 。

稱 $A:X_1 imescdots imes X_n o Y$ 是有界的，若 $exists Min mathbb{R}$ 使 $forall(x_1,cdots,x_n)in X_1 imescdots imes X_n$ 滿足 $|A(x_1,cdots,x_n)|leqslant M|x_1|cdots|x_n|$ 。

命題對賦范線性空間之間的多重線性運算元 $A:X_1 imescdots imes X_n o Y$ ，下述等價：(1) $lVert A Vertinmathbb{R}$ (2) $A$ 有界 (3) $A$ 是連續映射 (4) $A$ 在點 $(0,cdots,0)$ 連續。

命題線性空間 $mathfrak{L}(X_1,cdots,X_n;Y)$ 是賦范線性空間，且其中的範數和多重線性運算元的範數一致。若 $Y$ 是Banach空間，則 $mathfrak{L}(X_1,cdots,X_n;Y)$ 也是Banach空間。

正交基

稱定義了內積的實數域上線性空間 $X$ 是Euclidean空間，此時 $(x_1|x_2)=(x_2|x_1)$ 。稱 $x,yin X$ 是正交的，若 $(x|y)=0$ 。範數依然由 $lVert x Vert=sqrt{(x|x)}$ 給出。

稱Euclidean空間中的基 $e_i$ 是正交基，若 $(e_i|e_j)=0$ 當 $i e j$ 。若正交基 $e_i$ 還滿足 $(e_i|e_i)=1$ 則稱它是標準正交基。易見對正交基 $e_i$ ，令 $v_i=frac{e_i}{|e_i|}$ 則得到標準正交基 $v_i$ 。

定理(Gram-Schmidt) 有限維Euclidean空間中必定存在一個標準正交基。進一步，若給定n維Euclidean空間中一個線性無關組 $x_1,...,x_m$ ，則存在正交組 $e_1,...,e_m$ 使 $langle e_1,cdots,e_m angle=langle x_1,cdots,x_m angle$ 。

稱兩個Euclidean空間同構，如果它們的同構映射 $f$ 額外保持內積結構，即 $(x|y)=(f(x)|f(y))$ 。

命題 任意兩個維數相同的Euclidean空間同構，並且Euclidean空間和它的對偶空間也同構。

稱實矩陣 $A=(a_{ij})$ 是正交矩陣，若 $AA^T=E$ 。這個定義等價於 $A^TA=E$ ， $sum_{k=1}^{}{a_{ki}a_{kj}}=left{egin{matrix} 0,i e j\1,i=j end{matrix} ight.$ 或 $sum_{k=1}^{}{a_{ik}a_{jk}}=left{egin{matrix} 0,i e j\1,i=j end{matrix} ight.$ 。所有n階正交矩陣的加法構成一個群，稱作正交群，記作 $O(n)$ 。所有 $mathrm{det}A=1$ 的正交矩陣的正交群被稱作特殊正交子群，記作 $SO(n)$ 。

命題 Euclidean空間中標準正交基之間的轉換矩陣是並且只能是正交矩陣。

酉空間

稱複數域上的內積空間是Hermitian空間或酉空間。酉空間中的標準正交基的存在性是容易驗證的。下述命題給出了標準正交基的簡單性質。

命題若 $e_i$ 是酉空間 $X$ 的一個標準正交基，那麼(1) $forall xin X$ ， $x=sum_{i} (x|e_i)e_i$ (2) $forall x,yin X$ ， $(x|y)=sum_{i}(x|e_i)(y|e_i)$ (3) $forall xin X,|x|^2=sum_{i}|(x|e_i)|^2$ 。

稱復矩陣 $A=(a_{ij})$ 的共軛轉置矩陣是 $A^*=(overline{a_{ji}})$ 。易驗證 $(AB)=B^*A^*$ 。若 $AA^*=A^*A=E$ 則稱 $A$ 是酉矩陣。易驗證酉矩陣 $A$ ，滿足 $|mathrm{det}A|=1$ 。

酉空間上的線性運算元是重要的研究對象。首先從下述定理引出對偶運算元的概念：

定理 $mathcal{A}:X o X$ 是酉空間上的線性運算元， $(mathcal{A}x|y)=(x|mathcal{A}^*y)$ 定義運算元 $mathcal{A}$ 的對偶運算元 $mathcal{A}^*$ 的矩陣 $A^*$ ，在標準正交基下可通過共軛轉置 $mathcal{A}$ 的矩陣得到。

若 $mathcal{A}=mathcal{A}^*$ 則稱 $mathcal{A}$ 是Hermitian運算元或自共軛運算元。而 $mathcal{A}=-mathcal{A}^*$ 則稱 $mathcal{A}$ 是斜Hermitian運算元。

命題 酉空間中每個運算元都可寫成 $mathcal{A}=mathcal{X}+mathrm{i}mathcal{Y}$ 的形式，其中 $mathcal{X}$ 和 $mathcal{Y}$ 是自共軛運算元。

這個命題指出，自共軛運算元在運算元空間中扮演了類似實數一般的角色。但是運算元的乘法的可交換性仍是需要特別注意的問題。

命題 自共軛運算元 $mathcal{A}$ 和 $mathcal{B}$ 的乘積可交換，當且僅當乘積 $mathcal{A}mathcal{B}$ 是自共軛運算元。

稱酉空間上的線性運算元 $mathcal{A}$ 是酉運算元，若 $mathcal{A}mathcal{A}^*=mathcal{A}^*mathcal{A}=mathcal{E}$ 。關於酉運算元的對角化，有下述定理：

定理在n維酉空間的標準正交基下，自共軛運算元 $mathcal{A}$ 的矩陣 $A$ 是對角陣，並且它的譜點 $mathrm{Spec}(A)$ 都是實數。而非標準正交基下，對任意自共軛運算元 $mathcal{A}$ 都存在酉矩陣 $B$ 使 $B^{-1}AB=mathrm{diag}(lambda_1,...,lambda_n)$ 是對角陣，且 $|lambda_i|=1$ 。

我們可以把對角化拓寬到更一般的運算元中。稱酉空間中線性運算元 $mathcal{A}$ 是正規運算元，若 $mathcal{A}^*mathcal{A}=mathcal{A}mathcal{A}^*$ ，它的矩陣是正規矩陣。

命題 酉空間中線性運算元可對角化，當且僅當它是正規運算元。

若線性運算元 $mathcal{A}$ 使 $forall x,yin X$ 滿足 $|mathcal{A}x-mathcal{A}y|=|x-y|$ ，則稱 $mathcal{A}$ 是一個保距運算元。

命題 酉空間上的保距運算元有且只有酉運算元。

稱自共軛運算元是正定運算元，若 $forall xin X$ ， $(mathcal{A}x|x)geqslant0$ ，其中 $(mathcal{A}x|x)=0$ 僅當 $x=0$ 。藉助正定運算元和保距運算元可以給出如下的極化分解：

定理酉空間中任意線性運算元都可表述成 $mathcal{A}=mathcal{P}mathcal{Q}$ 的形式，其中 $mathcal{P}$ 是正定運算元，而 $mathcal{Q}$ 是保距運算元，並且這個表達式唯一。