基礎群論(五): Sylow理論下

05-17

基礎群論(五): Sylow理論下

來自專欄數學札記

這篇筆記是Sylow定理的補充, 包括: 一些Sylow定理相關的結論, 包括Frobenius關於 $p$ -子群個數的結果, Brodkey定理和Chermak–Delgado定理; 一些低階群的結果.

符號說明: $G$ 表示群(不一定有限), $p$ 都表示素數, $G$ 的Sylow $p$ -子群的集合記作 $mathrm{Syl}_p(G)$ , 並定義 $n_p(G):=|mathrm{Syl}_p(G)|$ .

有限群中的 $large p$ -群

上節已指出有限 $p$ -群的階數的刻畫:

命題有限群 $G$ 是 $p$ -群當且僅當 $|G|$ 是 $p$ 的冪.

目前我們將主要關注有限 $p$ -群的性質. Sylow定理保證了它們的普遍存在性.

首先運用群作用得到有限 $p$ -群的一個最基本的性質:

命題設 $P$ 是有限 $p$ -群, $1 eq Hlhd P$ , 則 $Hcapmathbf{Z}(P) eq1$ . 特別地, $mathbf{Z}(P) eq1$ .

由此容易證明, $p$ -群都是冪零群. 事實上, 我們在次正規列部分給出了有限冪零群的刻畫, 即有限冪零群就是有限 $p$ -群的有限直積. 於是冪零群的所有性質對有限 $p$ -群也成立.

值得一提的是, 無限 $p$ -群並沒有這麼好的性質. 例如, 存在無限 $p$ -群 $G$ 使得 $mathbf{Z}(G)=1$ (即 $G$ 無中心), $G=G$ (即 $G$ 是完滿群), 並且 $G$ 無非平凡的特徵子群(即 $G$ 特徵單).

現在加強Sylow定理對Lagrange逆定理的回答.

命題設 $P$ 是有限 $p$ -群, $N,Mlhd P$ 滿足 $N<M$ , 則存在 $Llhd P$ 使得 $Nleq Lleq M$ 且 $[L:N]=p$ .

證明用到了上面給出的 $p$ -群的性質. 於是得

命題
(i) 設 $P$ 是有限 $p$ -群, $p^eta$ 整除 $|P|$ , 則 $P$ 有 $p^eta$ 階正規子群.
(ii) 設 $G$ 是有限群, $p^eta$ 整除 $|G|$ , 則 $G$ 有 $p^eta$ 階子群.

上面的結論還可以加強:

定理 (Frobenius) 設 $G$ 是有限群, $p^eta$ 整除 $|G|$ , 則 $G$ 的 $p^eta$ 階子群數模 $p$ 余 $1$ .

這事實上也是Sylow第三定理的加強. 我們給出兩種證明.

第一種證明是Wielandt對Sylow第一定理的證明的變形, 十分巧妙.

證明設 $|G|=p^alpha m$ , $alphainmathbb{N}$ , $p mid m$ , 則 $alphageqeta$ . 記 $X:={Asubseteq G:|A|=p^eta}$ , 則 $G$ 以右乘作用在 $X$ 上. 設 $mathcal{O}$ 是 $X$ 的一個軌道, 取 $Sinmathcal{O}$ 使得 $1in S$ . 考慮穩定化子 $G_S$ . 若 $gin G_S$ 則 $Sg=S$ , $gin S$ , 故 $G_Ssubseteq S$ . 分兩種情形討論.

(i) $G_S=S$ . 則 $Sleq G$ , $|mathcal{O}|=[G:G_S]=p^{alpha-eta}m$ , $mathcal{O}$ 是 $S$ 的右陪集的集合. 故 $mathcal{O}$ 中有且僅有一個元素是 $G$ 的子群.
(ii) $G_S<S$ . 則 $|mathcal{O}|=[G:G_S]>p^{alpha-eta}m$ . 特別地, $p^{alpha-eta+1}$ 整除 $|mathcal{O}|$ , 且 $mathcal{O}$ 中沒有元素是 $G$ 的子群.
現設有 $k$ 個軌道滿足(i), 則存在 $linmathbb{N}$ 使 $|X|=inom{p^alpha m}{p^eta}=kp^{alpha-eta}m+lp^{alpha-eta+1}$ . 故 $inom{p^alpha m}{p^eta}m^{-1}/p^{alpha-eta}=m^{-1}(km+lp)equiv k ext{ (mod }p)$ , 其中 $m^{-1}$ 為 $m$ 在 $mathbb{Z}_p$ 上的(乘法)逆. $k$ 就是我們要求的子群數, 故只需證 $inom{p^alpha m}{p^eta}m^{-1}/p^{alpha-eta}equiv1 ext{ (mod }p)$ . 為避開數論計算, 我們注意到這個數實際上與 $G$ 的結構無關, 只與 $G$ 的階數有關. 所以只需考慮 $G$ 是循環群的情形, 此時顯然成立.

第二種證明較長, 分為五步, 寫成引理的形式.

第一步是將問題簡化為 $p$ -群.

引理設 $G$ 是有限群, $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ , $p^eta$ 整除 $|P|$ , 則 $G$ 的 $p^eta$ 階子群數與 $P$ 的 $p^eta$ 階子群數模 $p$ 同餘.
證明記 $X:={Hleq G:|H|=p^eta}$ , 則 $P$ 以共軛作用在 $X$ 上. 設 $Qin X$ , 則 $|mathcal{O}(Q)|=1$ 當且僅當 $Pleqmathbf{N}_G(Q)$ . 此時 $Pinmathrm{Syl}_p(mathbf{N}_G(Q))$ , 故 $Qleq P$ . 即 $|mathcal{O}(Q)|=1$ 時必有 $Qleq P$ . 其餘的軌道大小均是 $p$ 的倍數.

下面設 $P$ 是(非平凡)有限 $p$ -群. 考慮對 $eta$ 歸納地證明.

第二步是歸納的奠基. 這實際上已經在McKay對Cauchy定理中得到了. 下面給出另一種證明.

引理 $P$ 的 $p$ 階子群數模 $p$ 余 $1$ .
證明只需證 $P$ 的 $p$ 階元素模 $p$ 余 $-1$ . 設 $X:={gin G:|g|=p}$ , 則以共軛作用於 $X$ , 且 $xin X$ 滿足 $|mathcal{O}(x)|=1$ 當且僅當 $xinmathbf{Z}(G)$ . 但 $mathbf{Z}(G)$ 是非平凡的Abel $p$ -群, 其中的 $p$ 階元素數模 $p$ 余 $-1$ , 而 $X$ 中其他軌道大小均是 $p$ 的倍數.

第三步是「向上」計數.

引理設 $H<P$ , $|H|=p^gamma$ , 則 $P$ 中包含 $H$ 的 $p^{gamma+1}$ 階子群數模 $p$ 余 $1$ .

證明由對應定理, 所求子群數即 $mathbf{N}_G(H)/H$ 的 $p$ 階子群數.

第四步是「向下」計數, 稍複雜一些.

引理設 $1 eq Hleq P$ , $|H|=p^gamma$ , 則 $H$ 包含的 $p^{gamma-1}$ 階子群數模 $p$ 余 $1$ .
證明不妨設 $gammageq3$ . 記 $X:={Kleq H:|K|=p^{gamma-1}}$ , 取 $Kin X$ . 在 $X$ 上定義等價關係如下: $Msim N$ 當且僅當 $Mcap K=Ncap K$ . 顯然等價類 $[K]={K}$ . 若 $M,Nin X$ , $M eq N$ , 則 $MN=K$ , $Mcap Nlhd H$ , 且 $|Mcap N|=p^{gamma-2}$ . 故當 $M eq K$ , $N eq K$ 時, $Kcap Mleq N$ 當且僅當 $Nin[M]$ . 於是對 $K eq Lin X$ , $[L]$ 即 $H$ 中除去 $K$ 後所有包含 $Kcap L$ 的 $p^{gamma-1}$ 階子群, 用第三步的結論有 $|[L]|$ 被 $p$ 整除. 再加上單元素等價類 $[K]$ 即得證.

現在我們做好了歸納過渡的準備. 下面證明原定理當 $G=P$ 是有限 $p$ -群的情形.

證明我們使用算兩次的技巧. 記 $X:={Hleq P:|H|=p^{gamma}}={H_i}_{i=1}^{m}$ , $Y:={Kleq P:|K|=p^{gamma+1}}={K_j}_{j=1}^{n}$ . 我們證明 $mequiv n ext{ (mod }p)$ . 定義 ${1,ldots,m} imes{1,ldots, n}$ 上的函數 $chi$ 為: $chi(i,j):=1$ , 若 $H_ileq K_j$ , 否則 $chi(i,j):=0$ . 由引理有 $sum_ichi(i,j)equivsum_jchi(i,j)equiv1 ext{ (mod }p)$ , 故 $m=sum_i1equivsum_isum_jchi(i,j)=sum_jsum_ichi(i,j)equivsum_j1=n ext{ (mod }p)$ .

再由第一步即證畢.

有了Frobenius引理, 我們還能得到更多結論. 例如用群作用立得:

命題設 $P$ 是有限 $p$ -群, $p^eta$ 整除 $|P|$ , 則 $P$ 的 $p^eta$ 階正規子群數模 $p$ 余 $1$ .

這個命題對任意有限群顯然不成立, 例如Sylow $p$ -子群的正規性就無法保證.

其他結果

引理 (Frattini) 設 $Nlhd G$ , $N$ 有限, $Pinmathrm{Syl}_p(N)$ , 則 $G=mathbf{N}_G(P)N$ .

這一結論與Frattini子群有關. 注意這裡 $G$ 不需要有限.

命題設 $G$ 是有限群, $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ , $mathbf{N}_G(P)leq Hleq G$ , 則 $mathbf{N}_G(H)=H$ .

這個命題在之前對有限冪零群的刻畫中用到. 它本身也是有用的.

下面是Sylow第三定理的加強:

定理設 $|G|=p^alpha m$ , 其中 $alphainmathbb{N}_+$ , $p mid m$ . 設 $n_p(G)>1$ , $p^eta=max|Pcap Q|$ , 其中最大值取遍 $P,Qinmathrm{Syl}_p(G)$ , $P eq Q$ . 則 $n_p(G)equiv1 ext{ (mod }p^{alpha-eta})$ .

在Sylow第三定理的證明中考慮非單元素軌道的大小即得此結果. 在應用中, 我們可以以此估計 $max|Pcap Q|$ . 例如, 若 $n_p(G) otequiv1 ext{ (mod }p^2)$ , 則必有 $P,Qinmathrm{Syl}_p(G)$ , $P eq Q$ 使得 $|Pcap Q|=p^{alpha-1}$ . 事實上此時 $Pcap Qlhd P,Q$ , 即 $P,Qleq N_G(Pcap Q)$ . 特別地, $n_p(N_G(Pcap Q))>1$ . 這就得到了一些有用的條件.

設 $G$ 是有限群. 定義 $igcapmathrm{Syl}_p(G)$ 為 $G$ 的 $p$ -核心( $p$ -core), 記作 $mathbf{O}_p(G)$ . 容易證明, $mathbf{O}_p(G)operatorname{char}G$ , 且 $mathbf{O}_p(G)$ 是 $G$ 的最大正規 $p$ -子群, 即對任意 $p$ -子群 $Qlhd G$ , 有 $Qleqmathbf{O}_p(G)$ . 這個群在有限群論中非常重要.

下面的定理來自J. S. Brodkey, 刻畫了Sylow $p$ -子群為Abel群時的 $mathbf{O}_p(G)$ .

定理 (Brodkey) 設 $G$ 是有限群, $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ 是Abel群. 則存在 $S,Tinmathrm{Syl}_p(G)$ 使得 $Scap T=mathbf{O}_p(G)$ .

實際上我們有推廣:

定理設 $G$ 是有限群, 記 $X:={Pcap Q:P,Qinmathrm{Syl}_p(G)}$ . 設 $S,Tinmathrm{Syl}_p(G)$ 使得 $Scap T$ 在 $X$ 中極小, 則 $mathbf{O}_p(G)$ 是 $Scap T$ 中同時在 $S$ 與 $T$ 內正規的最大子群.

上述定理中, 極小的意思是, 若 $P,Qinmathrm{Syl}_p(G)$ 使得 $Pcap Qleq Scap T$ , 則 $Pcap Q=Scap T$ ; 最大的意思是, 若 $Nleq Scap T$ , $Nlhd S$ , $Nlhd T$ , 則 $Nleqmathbf{O}_p(G)$ . 群論中有許多類似的表述, 今後不一一說明.

容易看出Brodkey定理是這個結果的直接推論, 故只需證明這個結果.

證明設 $Kleq Scap T$ 使得 $Klhd S$ , $Klhd T$ , 則只需證對任意 $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ 有 $Kleq P$ . 顯然 $S,Tinmathrm{Syl}_p(mathbf{N}_G(K))$ . 設 $Pcapmathbf{N}_G(K)leq S^ninmathrm{Syl}_{p}(mathbf{N}_G(K))$ , 其中 $ninmathbf{N}_G(K)$ . 易證 $P^{n^{-1}}cap Tleq Scap T$ , 則由極小性 $P^{n^{-1}}cap T=Scap T$ . 故 $K=K^nleq(Scap T)^nleq P$ .

我們可以用Brodkey定理得到證明群不單的結果:

習題設 $G$ 是有限群, $Pinmathrm{Syl}_p(G)$ 是Abel群. 則 $[G:mathbf{O}_p(G)]leq[G:P]^2$ . 特別地, 若 $|P|>|G|^{1/2}$ 且 $|G| eq p$ , 則 $G$ 不單.

下面來自A. Chermak與A. Delgado的定理可以看作Brodkey定理的一個推廣:

定理 (Chermak–Delgado) 設 $G$ 是有限群, 則 $G$ 有Abel子群 $Noperatorname{char}G$ 使得對任意Abel子群 $Aleq G$ , 有 $[G:N]leq[G:A]^2$ .

它的證明基於一個初等的技巧. 對任意 $Hleq G$ , 定義其Chermak–Delgado測度(Chermak–Delgado measure)為 $m_G(H):=|H||mathbf{C}_G(H)|$ .

引理設 $G$ 是有限群, $H,Kleq G$ . 則
(i) $m_G(H)leq m_G(mathbf{C}_G(H))$ , 等號成立當且僅當 $mathbf{C}_G(mathbf{C}_G(H))=H$ .

(ii) $m_G(H)m_G(K)leq m_G(Hcap K)m_G(langle H,K angle)$ , 等號成立當且僅當 $langle H,K angle=HK$ 且 $mathbf{C}_G(Hcap K)=mathbf{C}_G(H)mathbf{C}_G(K)$ .

核心的觀察是: 使得Chermak–Delgado測度最大的子群集組成子群格的子格.

命題設 $G$ 是有限群, 記 $mathcal{L}(G):={Hleq G:m_G(H)=max_{Kleq G} m_G(K)}$ . 設 $H,Kinmathcal{L}(G)$ . 則
(i) $mathbf{C}_G(H)inmathcal{L}(G)$ 且 $mathbf{C}_G(mathbf{C}_G(H))=H$ .
(ii) $Hcap K,langle H,K angleinmathcal{L}(G)$ 且 $langle H,K angle=HK$ .

稱 $M:=igcapmathcal{L}(G)$ 為 $G$ 的Chermak–Delgado子群(Chermak–Delgado subgroup).

命題有限群 $G$ 的Chermak–Delgado子群 $Moperatorname{char} G$ , 是Abel群, 且 $mathbf{Z}(G)leq M$ .

此即Chermak–Delgado定理中的特徵子群, 其中等號成立當且僅當 $Ainmathcal{L}(G)$ , $A=mathbf{C}_G(A)$ 且 $M=mathbf{Z}(G)$ .

我們同樣可以得到證明群不單的結果.

習題設 $G$ 是有限非Abel群, $Hleq G$ 使得 $m_G(H)>|G|$ , 則 $G$ 不單.

下面的結果的證明則稍困難些.

習題設 $G$ 是有限群, $Hinmathcal{L}(G)$ , $H<G$ , 則存在 $Hleq Nlhd G$ 且 $N eq G$ .

提示: 考慮 $H^G$ . 若 $G=HK$ , 則對任意 $x,yin G$ , $G=H^xK^y$ .

注意這裡引入的記號都只是暫時使用的.

低階群

Sylow理論是分析低階群的結構的有力工具. 下面介紹一些簡單的結論, 當作練習. 當然, 分析低階群還需要更多的工具, 因此這裡的討論並不完全.

Sylow理論的第一種應用是分類.

命題在同構意義下, $p^2$ 階群只有: $mathbb{Z}_{p^2}$ , $mathbb{Z}_p imesmathbb{Z}_p$ .

提示: 考慮中心來證明 $p^2$ 階群必為Abel群.

命題在同構意義下,
(i) $p^3$ 階Abel群只有: $mathbb{Z}_{p^3}$ , $mathbb{Z}_{p^2} imesmathbb{Z}_{p}$ , $mathbb{Z}_p imesmathbb{Z}_p imesmathbb{Z}_p$ .
(ii) $8$ 階非Abel群只有: $D_8$ , $mathbf{Q}$ .
(iii) 若 $p eq2$ , 則 $p^3$ 階非Abel群只有: $mathrm{UT}_3(mathbb{Z}_p)$ (它有展示 $langle, a,b,cmid a^p=b^p=c^p=1,c=[a,b],ac=ca,bc=cb , angle$ ), $langle, a,bmid a^{p^2}=b^p=1,bab^{-1}=a^{1+p}, angle$ .

提示: (i)由有限Abel群基本定理得到. (iii)的第二種情況可用半直積證明, 也可以如下證明:

引理設 $x,yin G$ , $x,yinmathbf{C}_G([x,y])$ , 則 $(xy)^n=x^ny^n[y,x]^{n(n-1)/2}$ .

然後考慮映射 $gmapsto g^p$ .

命題在同構意義下,
(i) $2p$ 階群只有: $mathbb{Z}_{2p}$ , $D_{2p}$ .
(ii) $12$ 階群只有: $A_4$ , $D_{12}$ , $T=langle, a,bmid a^6=1,a^3=b^2=(ab)^2, angle$ .

第二種應用是證明群不單.

命題設 $p,q,r$ 是素數.
(i) 若 $|G|=pq$ , $p<q$ , 則 $n_p(G)=1$ . 若 $p mid q-1$ , 則 $Gcongmathbb{Z}_{pq}$ .
(ii) 若 $|G|=p^2q$ , 則 $n_p(G)=1$ 或 $n_q(G)=1$ .
(iii) 若 $|G|=p^3q$ , 且 $G otcong S_4$ , 則 $n_p(G)=1$ 或 $n_q(G)=1$ .
(iv) 設 $|G|=p^2q^2 eq36$ , $p<q$ , 則 $n_q(G)=1$ . $|G|=36$ 時 $n_p(G)=1$ .
(v) 設 $|G|=pqr$ , $p<q<r$ , 則 $n_r(G)=1$ .

這些都是不難證明的. 下面更一般的命題的證明則困難些.

命題設 $|G|=p^alpha q$ , $p,q$ 是素數, $alphainmathbb{N}_+$ , 則 $G$ 不單.
證明不妨設 $p eq q$ , 取 $P_1 eq P_2inmathrm{Syl}_p(G)$ 使得 $|P_1cap P_2|$ 最大. 若 $|P_1cap P_2|=1$ , 則計算元素數知 $|mathrm{Syl}_q(G)|=1$ . 下設 $|P_1cap P_2|>1$ . 由 $p$ -群性質得 $mathbf{N}_P(P_1cap P_2)>P_1cap P_2$ . 由 $|P_1cap P_2|$ 的最大性得 $|mathbf{N}_G(P_1cap P_2)|$ 是 $q$ 的倍數. 取 $Qinmathrm{Syl}_q(mathbf{N}_G(P_1cap P_2))$ , 則 $P_1Q=G$ . 再證 $P_1cap P_2leqmathbf{O}_p(G)$ .