[探科技]淺談真理的不完備

來自專欄 棱矩在線

作為20世紀所有數學理論中最重要的成果之一，哥德爾不完備性定理自從其被提出之日起就被人們譽為數學和邏輯發展史中的里程碑式成果，此後的事實證明它不僅具有劃時代的數學意義，而且蘊含了極其深刻的哲學韻味。歷史上從來沒有哪一個數學定理能如它一般，對人類文明的進步產生如此廣泛、而深遠的影響，以致讓無數思考者不斷試圖通過認識它所反映的真理本質來重新審度我們的物質世界，同時感受認知的艱難和思想的偉大。

人類思維的天生感性使我們往往不能真正做到客觀公正對待我們的世界和這個世界的"真理"。因此我們所謂的"真理"只不過是我們站在不同角度下的片面認識，它或許能在我們現有的認知體系下被冠以「真理」的美譽，但實際上它們幾乎所有都是不完備的，甚至是錯誤的。這也就是說從某種意義上來說我們所有所謂"真理"的不完備之處必定存在。這種情況的發生是因為在一般情況下，每當我們偶然接觸到一個新命題時，我們的感性思維就會潛移默化中根據思維方式和經驗做出判斷並將之奉之為"真理"，這也就是說感性思維上的慣性會讓我們不假思索的根據已有的思維方式和經驗在加以判斷。人們常說：看似正確的謬論比無知更可怕！它的存在必將減緩人類認知的真理化進程。從上述來看真理與命題之間的矛盾似乎是不完備的必然表現。這個表現的本質在於人的不完全理性思維不能證明「真理」本身的完備性，而「真理命題」只能建立在體系完備（真理完備）的基礎上，哥德爾不完備性定理恰恰證明完備真理是不可能的。因此，當人追求「完備命題」時，就已經偏離了追求「真理」的正確道路，其結果必然是：發現「完備真理」就是絕對的不完備。 哥德爾定理的核心在於完備真理不存在，這是人的認識論造成的．

哥德爾關於不完備性定理的研究首次發表在他的論文《論數學原理及有關係統中不可判定命題》中。不完備性定理描述的是關於不可判定命題存在的一般結果。其推導都有兩個不可逾越的前提： （1）凡是可證明的命題必然是真的（從直觀上看，這是任何一公理系統的必然要求）。 （2）命題的真理性在映射下保持不變（特別是真理和命題是同真假的）。因此往往我們認為嚴謹的推理也不能做到真正地做到想像中的嚴謹。以前許多數學家總以為：如果某個命題是正確的，一定可以用數學演繹方法證明其為真；如果某個數學命題是錯誤的，也定又可以用數學演繹方法證明其為假。正如法國數學家龐加菜所說"在數學中，當我擬定了作為約定的定義和公設以後，一個定理就只能為其或為假。但是，要回答這個定理是否為真，就不再需要我們將要求助的感覺證據，而要求助於推理。"哥德爾不完備性定理的建立則一舉粉碎了無數數學家幾千年來的信念。它真實地告訴我們，真與可證是兩個概念，"可證性"涉及到一個具有能行性的較為機械的思維過程，而"真理性"則涉及到一個能動的超窮的思維過程。因此，可證的一定是真的，但真的不一定可證。從這個意義上說，不完備的陰影將永遠伴隨著我們對事物的認知。

哥德爾不完備性定理的證明思想來源於數學家對不完備嚴謹的分析，而哥德爾不完備性定理的重大意義在於提出了一個大問題:不完備性原理是僅僅存在於數學系統中，還是普遍存在於所有系統中呢（自然科學系統，社會科學系統……）？就目前而言，我們認為許多系統已有可以證明的事實，最突出一個事例莫過於物理學中時空觀的變革，在愛因斯坦之前的人們很少會懷疑牛頓經典時空觀的正確性，彷彿它就是亘古不變的「真理」，但它的不完備最終還是讓它從科學的神壇上走了下來，但取而代之的相對論就一定是「真理」嗎？答案可想而知。由此可見，哥德爾不完備性定理早已超越了數學和邏輯學，提出了無數讓人類無法迴避的各領域問題，也挑戰著我們對世界的認知。

真理的不完備性已成事實，那麼對不完備真理的研究是不是就毫無意義了呢？答案是否定的，眾所周知，在漫長的數學發展史中，曾有過三次危機：無理數的發現；微積分的創立，集合論的悖論。第一次數學危機使數學從數的不完備出發讓數由「有限」進入了「無限」，第二次數學危機使數學從有限與無限的不完備出發集中反映了有限與無限的概念。第三次數學危機則是由集合論的不完備出發闡明了集合的意義。不難看出，數學史上的三次危機，都是與不完備性聯繫在一起的。而這些不完備之處最終恰恰導致了數學的嚴謹發展，讓人類不斷地深化人類對數學的研究和理解。因此認知的不完備一定程度上也在推動認知的發展！正如我國著名科學家郝柏林院士所言，「否定比肯定更具普遍性」。在科學上，一個否定性結論的形成往往標誌著一個新科學方向的產生。認識到絕對溫度零度不能達到，恰恰是低溫物理學的開始；認識到質點不能超光速運動，正好是相對論的開端；認識到測不準原理，恰好是量子力學的誕生。儘管我們對任何事物的認知都是不完備的，但是我們的認知畢竟在這樣的不完備中真的不斷前進了。

從今天來看，認知的不完備告訴我們即得的知識並不是完備的真理，縱使人類不斷完善也未必能去除其中所有的不完備，但是它確是人類與世界之間最有效的紐帶。追求絕對的真理知識是不可能的，但這並不意味著我們在知識的可靠性上一定要採取一種徹底地抵觸態度。世界上雖沒有那種不容置疑的絕對真理，但知識也並不是非要有那種不容置疑的絕對正確不可。因為知識的歷史就是人類不懈追求知識的絕對完備又逐步顯現知識的不完備進而不斷前進的歷史。這就需要我們在面對世界時要始終懷有對認知的質疑和對絕對真理的追求！

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