數學與哲學

數學與哲學

來自專欄 夫子三樂作者：老王夫子

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《數學與哲學》第11章 數學與哲學隨想（摘錄均手打，轉載請說明）

1、數學的領域在擴大；哲學的地盤在縮小。哲學曾經把整個宇宙作為自己的研究對象。那時它是保羅萬物的，數學只不過是算數和幾何而已。

17世紀，自然科學的大發展使哲學退出了一些列研究領域，哲學的中心問題從「世界是什麼樣的」變成「人是怎麼認識世界」這個時候，數學擴大了自己的領域，它開始研究運動與變化。

今天，數學在向一切學科滲透，他的研究對象是一切抽象結構——所有可能得關係與形式。

哲學，在某種意義上是望遠鏡。當旅行者到達一個地方是，他不在用望遠鏡觀察這個地方了，而是把它用在觀察前方。

數學則相反，它是最容易進入成熟的科學，獲得了足夠豐富實施的科學，能夠提出規律性的假設的科學。它好像是顯微鏡，只有把對象拿到手中，設置切成薄片，經過處理，才能用顯微鏡觀察它。

模糊的哲學與精確的數學——人類的望遠鏡與顯微鏡。

2、數學始終在影響著哲學。

為什麼哲學家如此重視數學呢？

當哲學家要說明世界上的一切是，他看到，萬物都是具有一定的量，呈現出具體的形，數學的對象寓於萬物之中。

當哲學家談論怎樣認識真理時，他不能不注意到，數學真是是那麼清晰而無可懷疑，那樣必然而普遍。

當哲學家談論抽象的事物是否存在時，數學提供了最抽象而又最具體的東西，數、形、關係、結構。他們有著似乎是不依賴與人的主觀意志的性質。

數學也受哲學的影響，但是不明顯。

及時數學家本身也是哲學家，他的數學活動並不一定要打上哲學觀點的烙印，他的哲學觀點往往被後人否定，而數學成果卻與世長存。

數學太具體了，太明確了。錯誤的東西，易於被發現被清除。

3、哲學對具體的東西作抽象的研究。數學對抽象的東西作具體的研究。

哲學研究世界上一切事物共同的普遍規律，研究人如何認識世界，研究概念的意義。這些被研究的東西是具體的，一般人都可以想先個，可以把握。

數學研究的東西是人難以想像，高維空間、非歐幾何、超限數、豪斯道夫怪球，達到高度的抽象。不是內行，很難理解。

哲學家的有些命題，只可意會，不可言傳。

數學研究的對象雖然抽象，但是可以作具體的而研究，而且只能做具體研究。數學中的許多概念，可以言傳而不可以意會。用符號、語言，一步一步可以講得很嚴格，很具體，至於它究竟是什麼，由於抽象的次數太多，頭腦中已難以想像。可是推理、論證，卻絕不含糊。

4、涉及到具體問題時，語言必須精確嚴格。數學家的看家本領，就是把概念弄清楚。這本領是經過兩千多年才練出來的。

（夫子注：這裡插入一段，張院士對「雞生蛋，還是蛋生雞？」問題的回答）

（什麼是雞蛋呢？雞蛋的概念不應當與雞無關，否則問題也無意義了。根據常識，我們可以提供兩個可能定義：

1、雞生的蛋才叫雞蛋；2、能孵出雞的蛋和雞生的蛋都叫雞蛋。

如果選擇定義1，自然是先有雞，第一隻雞是從某種蛋里出來的，而這種蛋不是雞生的，按定義，不叫雞蛋。如果選擇定義2，一定是先有蛋。孵出了第一隻雞的蛋，按定義是雞蛋，可它並不是雞生的。

只要我們把定義選擇好，問題就迎刃而解。）

（夫子註：似乎這是一個生物學的問題~~）

5、客觀事物作用於人的感官，使人產生相應的概念。我們看見月亮這個東西，才有了月亮這個概念。這表明先有事物後有概念。

但是，有些事物是人發明出來的，人必須現在頭腦中形成一定得概念，作為穿鑿具體事物的依據。因此，對於認為的事務，則可以先有概念，後有事物。

提到數學對象，產生了一個難題：點、線、面、數這些概念與他們所代表的事物，是哪個在前哪個在後呢？是先有了點、線、面、數這些事物，反映在人們頭腦中成為概念，還是人們在頭腦中形成概念之後，把他們穿鑿出來用以描述客觀世界呢？

（夫子注：似乎是一個數學上的「雞蛋」問題）

一個真正奇怪的故事是虛數的產生。-1的平方根，是數學運算的結果。在幾百年的漫長時期中，最偉大的數學家也認為它是虛幻，後來才發現它並不虛。它反映了客觀世界的某些性質與規律，但它一開始並不是客觀事物在人頭腦中的反映，是人通過運算把它創造出來的。

人創造了虛數，課時虛數服從的數學規律不以人的意志為轉移，因此，數學家覺得，不是人創造了虛數，是人發現了虛數。

同樣的，數學家認為哈密爾頓發現了四元數，而不是發明了四元數。

可不可以說，數學對象是和概念同時產生的呢?這時，事物不過是概念，概念也就是事物。

6、懷疑主義哲學懷疑數學真理的主要論據就是認為這種「無窮回歸」（夫子註：前面有一段關於無窮回歸的哲學論述，既最初概念的爭論，類似於物理中最小粒子的爭論，總是沒有概念可以作為最原始概念，總是需要新的概念描述最原始概念。）不可避免，但是數學已跳出這個無窮回歸的怪圈，那就是結構主義數學。數學說：我們研究某種結構，這種結構如果具有某種性質，則必具有另外的某種性質。

這時數學的特點，它不是肯定「是什麼」的問題，它只說，如果是什麼，那麼就如何！

7、數學從客觀世界汲取營養，形成自己的概念。然而概念一旦形成，就有了自己的性質，數學家奈何它不得。

數學世界是人創造的，它確實客觀的。它的內在性質與規律不以人的主觀意志為轉移。

8、數學特別關心變化中不變的東西。

平移運動下，與評議方向一直的直線是不變的。旋轉運動下，轉動中心是不變的。變化中不變的東西，往往是最重要的東西，刻畫了變化的特性的東西。

宇宙中的一切在運動與變化，但是我們相信變化與運動遵循的基本規律是不變的。如果基本規律也在變，比如說，某一天萬有引力突然消失了，或光速變得更快，或能量守恆定律不成立了，人類會覺得世界是不可想像的。

我們日常感到的規律，如冬去春來，日出日落，總有一天是要變的。然而這變化的背後，仍有不變的東西在支配，這應當是數學與哲學的基本信念。
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