數學與哲學

數學與哲學

來自專欄 夫子三樂作者:老王夫子

鏈接:zhihu.com/question/4754

來源:知乎

著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權,非商業轉載請註明出處。

《數學與哲學》第11章 數學與哲學隨想(摘錄均手打,轉載請說明)

1、數學的領域在擴大;哲學的地盤在縮小。哲學曾經把整個宇宙作為自己的研究對象。那時它是保羅萬物的,數學只不過是算數和幾何而已。

17世紀,自然科學的大發展使哲學退出了一些列研究領域,哲學的中心問題從「世界是什麼樣的」變成「人是怎麼認識世界」這個時候,數學擴大了自己的領域,它開始研究運動與變化。

今天,數學在向一切學科滲透,他的研究對象是一切抽象結構——所有可能得關係與形式。

哲學,在某種意義上是望遠鏡。當旅行者到達一個地方是,他不在用望遠鏡觀察這個地方了,而是把它用在觀察前方。

數學則相反,它是最容易進入成熟的科學,獲得了足夠豐富實施的科學,能夠提出規律性的假設的科學。它好像是顯微鏡,只有把對象拿到手中,設置切成薄片,經過處理,才能用顯微鏡觀察它。

模糊的哲學與精確的數學——人類的望遠鏡與顯微鏡。

2、數學始終在影響著哲學。

為什麼哲學家如此重視數學呢?

當哲學家要說明世界上的一切是,他看到,萬物都是具有一定的量,呈現出具體的形,數學的對象寓於萬物之中。

當哲學家談論怎樣認識真理時,他不能不注意到,數學真是是那麼清晰而無可懷疑,那樣必然而普遍。

當哲學家談論抽象的事物是否存在時,數學提供了最抽象而又最具體的東西,數、形、關係、結構。他們有著似乎是不依賴與人的主觀意志的性質。

數學也受哲學的影響,但是不明顯。

及時數學家本身也是哲學家,他的數學活動並不一定要打上哲學觀點的烙印,他的哲學觀點往往被後人否定,而數學成果卻與世長存。

數學太具體了,太明確了。錯誤的東西,易於被發現被清除。

3、哲學對具體的東西作抽象的研究。數學對抽象的東西作具體的研究。

哲學研究世界上一切事物共同的普遍規律,研究人如何認識世界,研究概念的意義。這些被研究的東西是具體的,一般人都可以想先個,可以把握。

數學研究的東西是人難以想像,高維空間、非歐幾何、超限數、豪斯道夫怪球,達到高度的抽象。不是內行,很難理解。

哲學家的有些命題,只可意會,不可言傳。

數學研究的對象雖然抽象,但是可以作具體的而研究,而且只能做具體研究。數學中的許多概念,可以言傳而不可以意會。用符號、語言,一步一步可以講得很嚴格,很具體,至於它究竟是什麼,由於抽象的次數太多,頭腦中已難以想像。可是推理、論證,卻絕不含糊。

4、涉及到具體問題時,語言必須精確嚴格。數學家的看家本領,就是把概念弄清楚。這本領是經過兩千多年才練出來的。

夫子注:這裡插入一段,張院士對「雞生蛋,還是蛋生雞?」問題的回答)

(什麼是雞蛋呢?雞蛋的概念不應當與雞無關,否則問題也無意義了。根據常識,我們可以提供兩個可能定義:

1、雞生的蛋才叫雞蛋;2、能孵出雞的蛋和雞生的蛋都叫雞蛋。

如果選擇定義1,自然是先有雞,第一隻雞是從某種蛋里出來的,而這種蛋不是雞生的,按定義,不叫雞蛋。如果選擇定義2,一定是先有蛋。孵出了第一隻雞的蛋,按定義是雞蛋,可它並不是雞生的。

只要我們把定義選擇好,問題就迎刃而解。)

夫子註:似乎這是一個生物學的問題~~)

5、客觀事物作用於人的感官,使人產生相應的概念。我們看見月亮這個東西,才有了月亮這個概念。這表明先有事物後有概念。

但是,有些事物是人發明出來的,人必須現在頭腦中形成一定得概念,作為穿鑿具體事物的依據。因此,對於認為的事務,則可以先有概念,後有事物。

提到數學對象,產生了一個難題:點、線、面、數這些概念與他們所代表的事物,是哪個在前哪個在後呢?是先有了點、線、面、數這些事物,反映在人們頭腦中成為概念,還是人們在頭腦中形成概念之後,把他們穿鑿出來用以描述客觀世界呢?

夫子注:似乎是一個數學上的「雞蛋」問題)

一個真正奇怪的故事是虛數的產生。-1的平方根,是數學運算的結果。在幾百年的漫長時期中,最偉大的數學家也認為它是虛幻,後來才發現它並不虛。它反映了客觀世界的某些性質與規律,但它一開始並不是客觀事物在人頭腦中的反映,是人通過運算把它創造出來的。

人創造了虛數,課時虛數服從的數學規律不以人的意志為轉移,因此,數學家覺得,不是人創造了虛數,是人發現了虛數。

同樣的,數學家認為哈密爾頓發現了四元數,而不是發明了四元數。

可不可以說,數學對象是和概念同時產生的呢?這時,事物不過是概念,概念也就是事物。

6、懷疑主義哲學懷疑數學真理的主要論據就是認為這種「無窮回歸」(夫子註:前面有一段關於無窮回歸的哲學論述,既最初概念的爭論,類似於物理中最小粒子的爭論,總是沒有概念可以作為最原始概念,總是需要新的概念描述最原始概念。)不可避免,但是數學已跳出這個無窮回歸的怪圈,那就是結構主義數學。數學說:我們研究某種結構,這種結構如果具有某種性質,則必具有另外的某種性質。

這時數學的特點,它不是肯定「是什麼」的問題,它只說,如果是什麼,那麼就如何!

7、數學從客觀世界汲取營養,形成自己的概念。然而概念一旦形成,就有了自己的性質,數學家奈何它不得。

數學世界是人創造的,它確實客觀的。它的內在性質與規律不以人的主觀意志為轉移。

8、數學特別關心變化中不變的東西。

平移運動下,與評議方向一直的直線是不變的。旋轉運動下,轉動中心是不變的。變化中不變的東西,往往是最重要的東西,刻畫了變化的特性的東西。

宇宙中的一切在運動與變化,但是我們相信變化與運動遵循的基本規律是不變的。如果基本規律也在變,比如說,某一天萬有引力突然消失了,或光速變得更快,或能量守恆定律不成立了,人類會覺得世界是不可想像的。

我們日常感到的規律,如冬去春來,日出日落,總有一天是要變的。然而這變化的背後,仍有不變的東西在支配,這應當是數學與哲學的基本信念。
推薦閱讀:

一文讀懂彈性力學——QuYln原創
漸進展開式相關整理
無窮大的數學(二):0.9循環 < 1?——超實數
拓撲學Ⅱ|筆記整理(1)——拓撲基本概念及性質,連續
奧特曼格鬥進化3的死刑奧特五兄弟怎麼打出C級 ?

TAG:數學 | 哲學 | 科普 |