如何優雅地給一隻貓定價？

在鏟屎官奴性越來越濃的今天，如何科學地評估一隻貓的價值，對於確定鏟屎官每天回家的時候應該採取鞠姿、跪姿、五體投地姿還是擬貓姿，是非常重要的，畢竟姿態輕慢是不敬，姿態過度是僭越。如何恰如其分地依照貓價對貓主子行禮，討貓主子歡心，已經是現代社會禮儀中非常重要的部分。因此本文依照現代金融學的基本研究結論，就如何給一隻貓進行定價進行了友好而深入的討論（討論過程中盡量避免被撓），並提供了以下三種定價思路給大家，歡迎大家背著你們家的貓進行進一步的研究。

思路1：主觀概率（及其中性調整）定價法

這個方法總體來說是十分簡單的，主要思路由Arrow（1964）和Dreze（1971）提出，即我們如何在不確定的情況下進行價格的確定。實際上是一種市場等值的原理：假設我們存在一個巨大的貓的市場，其中有形形色色的貓，不同類的貓的數量和狀態是一致的，那麼我們就有一個完備的市場，每個貓的價格都可以被一組不同狀態下的貓及其價格進行替代，如果我們能用狀態貓和狀態貓的價格進行來構造一隻貓的市場價格。

假設貓一共有三種狀態，未來要麼高冷，要麼抓狂，要麼正常，那麼我們可以認為每個貓對應每種狀態的未來的收益就是[1, 2, 3]，如果持有a個單位的貓，那麼總收益就是[a, 2a, 3a]。假設我們有無風險的現金，而現金對於所有的狀態來說，收益都是等同的[1, 1, 1]。通過持有c個單位的現金，每個貓奴的收益就是[a+c, 2a+c, 3a+c]。此時我們就可以購買一個收益[0, 1, 2]的組合，因為我們可以用[1, 2, 3]-[1, 1, 1]，此時a=1且c=-1。但與此同時我們也發現，我們並不能通過一個貓和現金去構造一個未來報酬為[1, 0, 0]的組合，因為我們找不到這樣的a和c，讓[a+c, 2a+c, 3a+c]= [1, 0, 0]。

但假如我們有一種貓的衍生品，比如逗貓棒，對應三種狀態的收益是[1, 1, 0]，那麼當我們持有d單位的逗貓棒時，我們的收益就變成了[a+c+d, 2a+c+d, 3a+c]，那麼我們就能構造出狀態證券：

[1, 0, 0]=-[1, 2, 3]+3[1, 1, 1]-[1, 1, 0]

[0, 1, 0]=[1, 2, 3]-3[1, 1, 1]+2[1, 1, 0]

[0, 0, 1]= 0[1, 2, 3]+[1, 1, 1]-[1, 1, 0]

通過這樣的構建，只要市場是完整的，我們就可以用狀態貓來進行套利，並表示市場里所有貓的價格

[x, y, z]=x[1, 0, 0]+y[0, 1, 0]+z[0, 0, 1]

這樣的簡化當然十分美好，我們只需要知道貓出現某個狀態的概率，就可以按照上述方法得到貓的價格計算結果。但是對於一個貓來說，它們的狀態實在是太多了，就我觀察，它們大概自己都不知道自己下一秒的狀態是什麼，這個問題對物理學者的困擾顯然更大一些，也就是著名的「薛定諤的貓」的命題（大誤），因此我們基於主觀判斷來進行定價，可能會陷入市場不完整和主觀概率賦值錯誤的泥潭。此時Dreze的觀點就很有啟發性，我們可以把狀態貓的價格作為主觀概率與風險規避調整的產品。貓的現值可以視為預期價值，此時我們需要進行折現，此時狀態出現的概率為風險規避調整後的風險中性偏好經濟中的主觀概率，即風險中性概率。這樣的方法更常見於保險業，我們可以根據一張類似保險收益表的表格來進行討論。

假設你的貓把人給撓了，那麼我們就要根據貓撓人的嚴重程度來判斷賠別人多少錢，此時建立表格如下：

5種狀態分別是你的貓把別人可能撓成的狀態，主觀概率為你認為每種狀態出現的概率，風險規避調整因子是我們基於信息得到的調整因子，然後風險中性概率等於主觀概率乘以規避調整因子，狀態價格則表示當一個狀態發生時，我們如果要賠別人1塊錢，應該在一開始準備多少錢（此處假設我們都是在年末統一賠付），這一年的無風險收益率為r的話，狀態價格就等於風險中性概率除以無風險收益。所有狀態的主觀概率和風險中性概率之和都是1。

此時我們就可以很輕鬆地計算出，我們如果要保證自己可以承擔貓撓了別人的風險，需要準備多少錢（假設r=1.05）：

也就是說，按照這個表我們可以確定賠付的現值是多少，事實上它也就轉換成了貓的價格。當然這個方法需要我們完美地刻度傷害，此時我們需要考慮貓的體型、被撓人的體型和貓的性格，這都會影響我們對主觀概率的設定，但這都不是這個方法的最大問題，最大的問題在於，一般來說，你的貓，只會撓你。

思路2：肥尾定價法

在大多數的傳統定價模型中，我們都假設收益是符合正態分布的，但是根據許多實證檢驗的結果，我們往往發現收益的分布是肥尾的。這一點非常適用於對貓的定價，因為大部分貓的尾巴都非常的肥（咦？）。

哦不對，拿錯圖了！

此時我們需要假設方差是有限的，最早提出解決方案的是Press（1967），他首先使用泊松跳躍過程來描述價格的變化，同樣地，這對於每天都跳來跳去的貓來說，實在是再合適不過了（咦咦？）。我們將貓價格的變化表述為如下模型：

其中求和是n（t-1）到n（t），為了表達簡單，我們把n（t）看作t時刻的交易次數，並且n（t）是一個泊松過程，參數為lt。而e（t）是序列獨立穩定的正態隨機變數分布，即服從N（0，σ1^2），而Yk則是一個相互獨立的正態分布隨機變數，符合N（theta，σ2^2）。這樣我們就可以得到貓價格變化△P（t）的期望和方差是：

並得到計算偏度和峰度的四個統計量分別為

那麼標準化後的偏度和峰度就是

Press認為這樣算出來的△P（t）的偏度符號與q一致，但是峰度會比正態分布時更高，並且存在一個△P（t）的極端值，高於這個值的△P（t）分布的概率要大於正態分布時的概率，並且theta的絕對值越小。這個極端值也越小。這樣我們就構造出了一個肥尾的貓的價格分布，並且可以通過歷史價格的變動時間序列，用匹配累積量的方法來估計裡面所需要的參數值，進而預估未來貓價格的變動。

但是Rosenberg（1973）的一篇沒有發表但是引用率很高的論文認為，這樣的定價方法需要預先假設方差數據是隨機的，這樣模型就不能解釋連續數期的超高或者超低波動情況，畢竟貓的生產情況不穩定，如果貓發情或者不發情的規律出現了混亂，那麼市場價格時間序列的方差就會很奇怪。Rosenberg將價格波動定位兩個部分，首先用一個非穩定分布來給出方差，然後假定價格的變化來自一個擁有新方差的正態分布，這樣價格的變動就不是序列相同分布的了，他由此證明非穩定的方差會提高價格變動的峰度。具體的證明過程可以看他的paper。

總之我們可以由Rosenberg的方法，得到一個簡單的回歸模型：

其中求和從k=2到k=11，也就是說下個月貓價變化的平方是前十個月價格變動平方的函數，兩個參數可以由回歸方程計算得到。因此如果要計算自家貓的價格，只需要知道過去10個月的貓價。事實上這個方程也是傳說中ARCH模型的雛形。

思路3：歐式期權方法

說起定價最為著名的方法自然是BS模型，這裡我們把方法簡化為Cox、Ross和Rubinstein的二叉樹模型來討論如何給貓定價，畢竟貓與樹有著不解之緣。並且這個方法與思路1一樣，需要考慮狀態價格，但此時我們不再需要給出一個預設的主觀假設，而是可以計算每個狀態出現的概率。

我們先進行如下假設：市場中至少存在一種貓，以及先進和貓價格的期權（實際上貓價格期權很常見，一些貓舍接受定金後，會在產仔後按照品相再定價），貓和貓之間不存在套利，只需要兩種貓就可以使得市場變成一個動態的完整市場，各個日期的狀態是重新組合的，以及未來的狀態價格與鏡頭的狀態價格相同。

我們假設當前的貓價格為S0，無風險收益率為r（假設就是小土貓的價格變化）並且當前貓期權的價格為C0，那麼就有

其中Xs是期權到期時貓的價格，K是期權到期的行權價格，t是年化時間，而Ps就是狀態價格。根據思路1我們知道，如果我們知道狀態價格，實際上就可以將期權價格、貓的當期價格和小土貓的價格變化聯繫起來。我們就可以得到如下的貓價格變動的二叉樹形式，即價格在每個節點會按相同的波動率向上或向下波動，這裡我們將價格向上變動標記為u，向下變動標記為d。那麼顯然當期當期貓期權的價格就變成了

這裡我們假設經歷了n次貓價格的變動，其中向上變動的次數為s次。其中狀態價格的表達式：

事實上，根據Ross等人的思想，只要無套利條件是成立的，那麼只要我們市場中存在貓，那麼我們都一定可以得到狀態價格，只不過狀態價格可能不是唯一的。因此如果我們需要得到一個準確的價格，就需要市場里貓的數量等同於狀態的數量。不過上述方法對於我們判斷貓舍預售價格是否合理仍然有積極的意義。

以上就是我們根據既有的方法，提出的計算您貓主子價格的思路。但是需要警告的是，由於貓主子自行進行的信息披露經常造假，周期性信息的變動程度過大，貓主子和人類之間的信息反饋機制完全不確定，既有的貓定價方法隨時可能失效，大家使用時需要多加謹慎。

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