線性代數: 線性空間與線性映射(2)

05-16

線性代數: 線性空間與線性映射(2)

來自專欄數學札記

線性映射的矩陣表示

這一部分之前不知道為什麼總是各種分不清下標, 可能是因為太懶, 沒怎麼算具體的例子. 不過現在應該已經徹底弄清楚了.

下設 $R$ 是環, $M,N,L$ 是自由左 $R$ -模, $mathcal{B}={b_i}_{i=1}^m,mathcal{C}={c_i}_{i=1}^n,mathcal{D}={d_i}_{i=1}^ell$ 分別是 $M,N,L$ 的基. 再設 $mathcal{B}={b_i}_{i=1}^m,mathcal{C}={c_i}_{i=1}^n$ 分別是 $M,N$ 的另一組基.

我們先考慮一般環的情形, 然後再考慮熟悉的交換環上的情形. 我們會發現兩者有本質區別, 因為當 $R$ 不交換時, $operatorname{Hom}_R(R^m,R^n)$ 不是(通常意義下的) $R$ -模, 而且對於 $Ainmathrm{Mat}_{m,n}(R)$ , 映射 $R^m o R^n,Xmapsto AX$ 也不一定是 $R$ -模同態. 這時我們採取的辦法是使用行向量, 把所有的矩陣都轉置, 並改成從右邊作用. 但由於通常情況下函數是寫在左邊的, 這就會顯得有些混亂. 我沒想到啥更好的處理辦法, 嘗試過像群論一樣把函數寫在右邊, 但這樣會導致左右來回切換很不方便……交換環就沒有這樣的細節問題.

a) 坐標

任意 $vin M$ 可以唯一地表示為 $v=sum_{i=1}^mr_ib_i$ , 其中 $r_iin R$ , 這就定義了 $phi_mathcal{B}:M o R^m,vmapsto(r_1,cdots,r_m)$ , 且 $phi_mathcal{B}$ 是左 $R$ -模同構, 稱為關於 $mathcal{B}$ 的坐標函數.

b) 矩陣表示

任意 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ 有關於 $mathcal{B,C}$ 的矩陣表示 $[ au]_{mathcal{B,C}}:= pmatrix{[ au b_1]_{mathcal{C}}\ vdots\ [ au b_m]_{mathcal{C}}}$ , 使得對任意 $vin M$ , $[ au v]_mathcal{C}=[v]_{mathcal{B}}[ au]_mathcal{B,C}$ . 則有 Abel 群或 $mathbf{Z}(R)$ -模同構(不是 $R$ -模同構!) $[cdot]_{mathcal{B,C}}:operatorname{Hom}_R(M,N) omathrm{Mat}_{m,n}(R), aumapsto[ au]_{mathcal{B,C}}$ . 當 $M=N$ 且 $mathcal{B}=mathcal{C}$ 時, 我們記 $[ au]_{mathcal{B}}:=[ au]_{mathcal{B,C}}$ .

若 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , $sigmainoperatorname{Hom}_R(N,L)$ , 則 $[sigma au]_mathcal{B,D}=[ au]_mathcal{B,C}[sigma]_mathcal{C,D}$ . 於是 $[cdot]_{mathcal{B,B}}:operatorname{End}_R(M) omathrm{Mat}_{m}(R)$ 是環的反同構. 若令 $T:mathrm{Mat}_m(R) omathrm{Mat}_m(R^{ ext{op}}), Amapsto A^intercal$ , 則 $T$ 也是反同構, 故 $Tcirc[cdot]_{mathcal{B,B}}$ 是環同構 $operatorname{End}_R(M)congmathrm{Mat}_{m}(R^{ ext{op}})$ . 注意若將函數寫在右邊, 就直接有 $[cdot]_{mathcal{B,B}}$ 是環同構.

c) 換基與過渡矩陣

定義過渡矩陣 $M_{mathcal{B,B}}:=pmatrix{[b_1]_{mathcal{B}}\vdots\ [b_m]_{mathcal{B}}}$ , 則對 $vin M$ 有 $[v]_{mathcal{B}}=[v]_{mathcal{B}}M_{mathcal{B,B}}$ . 易知 $M_{mathcal{B,B}}$ 可逆且 $M_{mathcal{B,B}}^{-1}=M_{mathcal{B,B}}$ . 反過來, 任意 $Ainmathrm{Mat}_{m}(R)$ 可逆當且僅當存在 $M$ 的兩組基 $mathcal{B,B}$ 使得 $A=M_{mathcal{B,B}}$ . 注意 $M_{mathcal{B,B}}=[1_M]_{mathcal{B,B}}$ .

對 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , 有換基公式 $[ au]_{mathcal{B,C}}=M_{mathcal{B,B}}[ au]_{mathcal{B,C}}M_{mathcal{C,C}}$ . 特別地, 當 $M=N$ 且 $mathcal{B}=mathcal{C},mathcal{B}=mathcal{C}$ 時, $[ au]_{mathcal{B}}=M_{mathcal{B,B}}^{-1}[ au]_{mathcal{B}}M_{mathcal{B,B}}$ .

下面再加上 $R$ 交換的條件. 實際上下面的記號對右 $R$ -模適用, 其中 $R$ 不一定交換. 當 $R$ 交換時, 任意 $R$ -模都可以視為 $R$ - $R$ -雙模, 但下面這種記號與我們通常將函數寫在左邊的習慣一致, 故選擇這一種. 唯一需要注意的是, 右 $R$ -模對應的環同構是 $operatorname{End}_R(M)congmathrm{Mat}_{m}(R)$ , 不需要反轉環, 無論 $R$ 是否交換.

a) 坐標

任意 $vin M$ 可以唯一地表示為 $v=sum_{i=1}^mr_ib_i$ , 其中 $r_iin R$ , 這就定義了 $phi_mathcal{B}:M o R^m,vmapstopmatrix{r_1\ vdots\ r_m}$ , 且 $phi_mathcal{B}$ 是 $R$ -模同構, 稱為關於 $mathcal{B}$ 的坐標函數.

b) 矩陣表示

任意 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ 有關於 $mathcal{B,C}$ 的矩陣表示 $[ au]_{mathcal{B,C}}:=Big([ au b_1]_{mathcal{C}}Big|cdotsBig|[ au b_m]_{mathcal{C}}Big)$ , 使得對任意 $vin M$ , $[ au v]_mathcal{C}=[ au]_mathcal{B,C}[v]_{mathcal{B}}$ . 則有 $R$ -模同構 $[cdot]_{mathcal{B,C}}:operatorname{Hom}_R(M,N) omathrm{Mat}_{n,m}(R), aumapsto[ au]_{mathcal{B,C}}$ 是. 當 $M=N$ 且 $mathcal{B}=mathcal{C}$ 時, 我們記 $[ au]_{mathcal{B}}:=[ au]_{mathcal{B,C}}$ .

若 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , $sigmainoperatorname{Hom}_R(N,L)$ , 則 $[sigma au]_mathcal{B,D}=[sigma]_mathcal{C,D}[ au]_mathcal{B,C}$ . 特別地, $[cdot]_{mathcal{B,B}}:operatorname{End}_R(M) omathrm{Mat}_{m}(R)$ 是 $R$ -代數同構.

c) 換基與過渡矩陣

定義過渡矩陣 $M_{mathcal{B,B}}:=Big([b_1]_{mathcal{B}}Big|cdotsBig|[b_m]_{mathcal{B}}Big)$ , 則對 $vin M$ 有 $[v]_{mathcal{B}}=M_{mathcal{B,B}}[v]_{mathcal{B}}$ . 易知 $M_{mathcal{B,B}}$ 可逆且 $M_{mathcal{B,B}}^{-1}=M_{mathcal{B,B}}$ . 反過來, 任意 $Ainmathrm{Mat}_{m}(R)$ 可逆當且僅當存在 $M$ 的兩組基 $mathcal{B,B}$ 使得 $A=M_{mathcal{B,B}}$ . 實際上 $M_{mathcal{B,B}}=[1_M]_{mathcal{B,B}}$ .

對 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , 有換基公式 $[ au]_{mathcal{B,C}}=M_{mathcal{C,C}}[ au]_{mathcal{B,C}}M_{mathcal{B,B}}$ . 特別地, 當 $M=N$ 且 $mathcal{B}=mathcal{C},mathcal{B}=mathcal{C}$ 時, $[ au]_{mathcal{B}}=M_{mathcal{B,B}}[ au]_{mathcal{B}}M_{mathcal{B,B}}^{-1}$ .

d) 可逆與基

最後單獨總結一下可逆矩陣、可逆線性映射和基的關係.

命題設 $R$ 是環, $M,N$ 是有限生成的左自由 $R$ -模, $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ . 則下述命題等價:
(i) $au$ 可逆, 即存在 $sigmainoperatorname{Hom}_R(N,M)$ 使得 $sigma au=1_M$ 且 $ausigma=1_N$ .
(ii) 存在 $M$ 的基 $mathcal{B}$ 與 $N$ 的基 $mathcal{C}$ , 其中 $|mathcal{B}|=m$ , $|mathcal{C}|=n$ , 使得 $[ au]_{mathcal{B,C}}inmathrm{Mat}_{n,m}(R)$ 可逆, 即存在 $Ainmathrm{Mat}_{m,n}(R)$ 使得 $A[ au]_{mathcal{B,C}}=I_m$ 且 $[ au]_{mathcal{B,C}}A=I_n$ .

(iii) 對任意 $M$ 的基 $mathcal{B}$ 與 $N$ 的基 $mathcal{C}$ , 其中 $|mathcal{B}|=m$ , $|mathcal{C}|=n$ , 都有 $[ au]_{mathcal{B,C}}inmathrm{Mat}_{n,m}(R)$ 可逆.
(iv) 存在 $M$ 的一組基 $mathcal{B}$ 使得 $aumathcal{B}$ 是 $N$ 的一組基.
(v) 對任意 $M$ 的基 $mathcal{B}$ , 都有 $aumathcal{B}$ 是 $N$ 的一組基.

注意有限生成保證了 $M,N$ 的任意一組基都是有限的. (ii) 與 (iii) 中 $m,n$ 不必相等, 除非 $R$ 滿足 IBN.

代數對偶模/空間

設 $R$ 是環, $M$ 是左 $R$ -模. 則 $operatorname{Hom}_R(M,R)$ 是右 $R$ -模, 稱為 $M$ 的(代數)對偶模, 記作 $M^*$ , 其元素稱為線性函數. 對於 $fin M^*$ 與 $vin M$ , 我們記 $langle v,f angle:=f(v)$ , 因為 $M^*$ 是右 $R$ -模, 這樣就有 $langle v,fr+gs angle=langle v,f angle r+langle v,g angle s$ , 其中 $r,sin R$ , $f,gin M^*$ , 方便計算. 之所以有「代數」二字, 是因為拓撲向量空間有一種不同的對偶, 稱為連續對偶空間. 這裡不討論後者, 所以下面略去代數二字.

a) 對偶基

設 $M$ 是自由 $R$ -模, $mathcal{B}={b_i:iin I}$ 為 $M$ 的一組基. 記 $mathcal{B}^*:={b_i^*in M^*:iin I}$ , 其中 $b_i^*$ 定義為 $b_i^*(b_j):=delta_{i,j}$ , 則 $mathcal{B}^*$ 稱為 $mathcal{B}$ 的對偶基. 當 $R$ 交換時這可以誘導出 $R$ -模同態 $M o M^*,b_imapsto b_i^*$ , 但這個同態依賴於基 $mathcal{B}$ 的選取, 不是自然的.

易證 $mathcal{B}^*$ 是 $M^*$ 中的線性無關集. 當 $mathcal{B}$ 有限時, $mathcal{B}^*$ 確為 $M^*$ 的基(直接證明或利用 $operatorname{Hom}_R(-,R)$ 的性質). 故當 $R$ 交換時有 $R$ -模同構 $Mcong M^*$ . 而當 $mathcal{B}$ 無限時, 不僅 $mathcal{B}^*$ 不一定是 $M^*$ 的生成集, 甚至可能 $M^*$ 連自由模都不是, 例如 $(mathbb{Z^N})_0$ 的對偶模同構於 $mathbb{Z^N}$ , 它不是自由模(待證明). 對於線性空間我們有如下的結果, 證明見後文.

命題設 $D$ 是除環, $V$ 是左 $D$ -線性空間, 則 $dim Vleqdim V^*$ , 等號成立當且僅當 $dim V<infty$ .

b) 雙對偶

考慮雙對偶 $M^{**}:=(M^*)^*$ . $M^{**}$ 是左 $R$ -模. 定義 $R$ -模同態 $Phi:M o M^{**}, vmapstoar{v}$ , 其中 $ar{v}:M^* o R,fmapstolangle v,f angle$ . 這個映射是自然的, 通俗的理解即不依賴於基的選取. 在範疇的語言中, 自然意味著下面的交換圖對任意 $R$ -模 $M,N$ 交換:

若 $M$ 是自由模, 則 $Phi$ 是單同態. 若 $M$ 是有限生成的自由模, 則 $Phi$ 是同構, 即 $Mcong M^{**}$ . 使得 $Phi$ 是同構的模稱為自反模, 故有限生成的自由模是自反模. 事實上有限生成的投射模也是自反模. 線性空間自反當且僅當它有限維.

c) 零化子

設 $R$ 是環, $M$ 是左 $R$ -模. 對 $Ssubseteq M$ , 定義 $S$ 的零化子為 $S^0:={fin M^*:langle S,f angle={0}}$ . 顯然 $S^0leq M^*$ 且 $S^0=langle S angle^0$ .

命題
(i) 若 $Ssubseteq Tsubseteq M$ , 則 $T^0subseteq S^0$ .
(ii) 若 $R$ 是除環, $Sleq M$ , 則在自然映射 $Phi$ 下 $Scong S^{00}$ .
(iii) 若 $S,Tleq M$ , 則 $(S+T)^0=S^0cap T^0$ , $(Scap T)^0supseteq S^0+T^0$ . 若 $Scap T$ 在 $S,T$ 中有補模, 且 $S+T$ 在 $M$ 中有補模, 則 $(Scap T)^0=S^0+T^0$ .
(iv) 若 $V=Soplus T$ , 則 $T^*cong S^0$ , $(Soplus T)^*=S^0oplus T^0$ .

d) 轉置映射

設 $R$ 是環, $M,N$ 是左 $R$ -模, $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ . 則 $au$ 誘導出其轉置映射 $au^ imes:N^* o M^*,fmapsto f au$ , 即 $langle au v,f angle=langle v, au^{ imes}(f) angle$ , 其中 $vin M$ , $fin M^*$ . 這實際上就是在 $au$ 上作用對偶模函子 $operatorname{Hom}_R(-,R)$ .

命題設 $M,N,L$ 是左 $R$ -模.

(i) 若 $R$ 交換, $au,sigmainoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , $r,sin R$ , 則 $(r au+ssigma)^ imes=r au^ imes+ssigma^ imes$ .
(ii) 若 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , $sigmain operatorname{Hom}_R(N,L)$ , 則 $(sigma au)^ imes= au^ imessigma^ imes$ . 特別地, 若 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ 可逆, 則 $( au^{-1})^ imes=( au^ imes)^{-1}$ .
(iii) 若 $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ , 則 $ker au^ imes=(operatorname{im} au)^0$ , $operatorname{im} au^ imesleq(ker au)^0$ . 若 $ker au$ 有自由補模, 則 $operatorname{im} au^ imes=(ker au)^0$ .

設 $M,N$ 是有限生成的自由左 $R$ -模, $mathcal{B,C}$ 分別是 $M,N$ 的基, $auinoperatorname{Hom}_R(M,N)$ . 則 $[ au^ imes]_{mathcal{C^*,B^*}}=[ au]_{mathcal{B,C}}$ . 注意這裡左邊是右模上的矩陣表示, 而右邊是左模上的矩陣表示. 若 $R$ 是交換環, 則通常將所有模都視為左模, 此時的關係則是 $[ au^ imes]_{mathcal{C^*,B^*}}=[ au]_{mathcal{B,C}}^intercal$ , 這也是名稱「轉置映射」的由來.