6. 幼稚園學術：什麼是拓撲

拓撲是一個老生常談又長期被作為玄學的東西，其從熊孩子們耳熟能詳的七橋問題起源，成為初等領域虐死我等蒟蒻的圖論，仰望黃神等聚聚松虐仙人掌時有一種搞OI完全是中了仙人跳的感覺；最終發展為點集拓撲，代數拓撲，微分拓撲和幾何拓撲四大神煞，成為聚聚和神犇們大秀人贏氣質的舞台。作為人輸，在仰止之餘，還是不由想知道：拓撲究竟是什麼？

七橋問題

著名的Seven Bridges of K?nigsberg - Wikipedia, the free encyclopedia , 被歐拉粑粑在1736年解決，從此誕生的graph theory 以及topology讓覺得級數太trivial的數學家們有了消遣腦力的後花園。由於七橋問題並不複雜，筒子們請自行查閱，在此不贅述。第一次知道圖論的存在，是在暑假裡作死試圖近距離膜拜黃神入了OI坑所致，讓我真切地領悟到人與人之間智商差距的深刻性和不可調和性；拓撲這個詞最早見到則是小學奧數學一筆畫的時候編書人裝得一個逼（關注這種東西其實是因為題不會做...寶寶沒有什麼主動學習的覺悟完全是被逼的），後來就百度了一大堆科普視頻，長時間內對拓撲的印象就是睡夢中一坨橡皮泥——然而這沒有什麼卵用。

拓撲排序

直到不久前，我都沒有意識到圖論和拓撲之間的密切聯繫。然而學圖論演算法的時候，學到了這樣一個東西，叫做拓撲排序，用來在有向圖中按照邊的方向給各點排除先後次序來。然而聽了凱爺一節課，寶寶也沒有搞明白什麼是拓撲排序：

寶寶：「黃神 黃神，拓撲排序到底是怎麼搞的？」

黃神：「這種東西難道不是直覺嗎...讓我怎麼給你講...」

哦...

所以直到空手退役，我也不知道拓撲排序到底是怎麼寫的。但是它和拓撲之間的關係，我似乎找到一些感覺。在拓撲排序中，排序的依據，是兩點之間有有向邊相連，同時沿著箭頭方向走，必須不能回到已經經過的點，否則會存在一些點，誰在誰的上游無法區分；當滿足這些條件時，我們就可以給每個點以唯一的編號，使得從任何一個點出發，不能到達比它編號小的點。而我們的圖給這種演算法提供的結構基礎是，有些點之間直接相連，有些則不然。

圖形里點的相鄰關係，或者對象的連續性結構，就是拓撲。

伯羅奔尼撒戰爭史

拓撲一詞原文topology , 大致意思是「研究地面的形態的學問」這樣，它最早研究一些地理的對象，比如說，古希臘的海岸線。我們知道，雅典人控制的海岸線，和西西里人控制的海岸線是很不同的。比方說，當伯羅奔尼撒人的艦隊從西向東經過雅典的海岸線，雅典人是不會太擔心同一支艦隊又從西面駛來的（古典時期的水手為了安全，一般是沿著海岸行進）；但是當雅典人的艦隊在西西里島周圍游弋，並一直保持西西里島在他們左手邊時，西西里人面對的情況卻是截然不同的。

當敘拉古人的艦隊追逐雅典艦隊，他們也許會被那支艦隊從背後追上；但是對於追及斯巴達人的雅典人來說，追丟了敵人倒不至於讓自己陷入被追擊的境地。阿提卡半島海岸線和西西里島海岸線這兩張「圖」的不同就在於，從阿提卡的海岸線的一端到另一端，不可能不經過海岸線上的其他點；而對於西西里的海岸線來說這則是可行的。換句話說，如果給兩條曲線都規定上兩端，阿提卡的兩端並不直接相連，而西西里的兩端則是直接相連的，從一端到另一端，可以不經過任何其他的點。這種不同，實際上就是我們平常所說的環和線段在結構上的差異，從而，前者圍成了一個一目了然的「洞」，將來我們稱它虧格為一；線段的虧格則為零，兩者的虧格不同，因而兩者具有不同的拓撲。在嚴格的拓撲學裡，我們將證明，表述一個圖形虧格的數量，和表述它上面的每一個點和哪些點直接相連，或者「相鄰」，是等價的；因此，如果我們找來兩個圖形，如果它們的虧格相同，他們就有相同的拓撲結構；如果不然，它們的拓撲就是不同的。

沒有不飽和鍵的烴

我們在此舉沒有不飽和鍵的烴為例，在這個例子中，化學上所說它的不飽和度，實際上就是它的虧格。烷烴如癸烷的不飽和度為 0；簡單環烷烴，如環癸烷的不飽和度為 1；螺-[4, 5]-癸烷的不飽和度為 2；金剛烷（三環[3.3.1.1(3,7)]癸烷）的不飽和度為 3，這分別對應它們有零個環、一個環、兩個環、三個環。它們的碳骨架碳數相同，拓撲性質卻是很不同的。

拓撲的結構非常柔軟。數碼 8 看起來比 螺-[4, 5]-癸烷平滑許多，而「日」字看起來比它們倆都方正，但是有兩個洞的共同點沒有變，它們三個虧格相同，所以其拓撲也是相同的（這個說法其實不嚴格）。當我們用拓撲學的觀點來審視圖形，角度、長度和彎曲程度都是沒有意義的，對於一個只有拓撲性質的結構，「三內角和等於一百八十度」之類的命題是沒有意義的。誠然，這些幾何學的結論其實需要用到拓撲學的知識，但是這些結論所適用的對象，顯然在拓撲結構以外還有別的性質。

從拓撲到流形

拓撲的柔軟性使得我們可以把它像橡皮泥那樣揉來揉去，不受制於幾何的約束；但同時，它太過柔軟，以至於我們不能在上面找到滿意的幾何性質。在一個完美球體上，球面三角形內角和減去π得一整數，恰是它對球心所張的立體角；在地球這樣的橢球體上三角形的內角和問題將更為複雜，我沒有聽說過相關的結果。如果說平面幾何和球面幾何的不同是拓撲的差異所致，那麼球面幾何與橢球面幾何的不同則絕不是由於拓撲因素造成的，因為它們拓撲結構相同，或者說，他們是同胚的（想一想那塊橡皮泥。不要拉斷它或者刺穿它或將原本不粘在一起的兩個面相互連接。你做出的任何東西都將和一開始的泥坯有相同的拓撲結構）。再舉一個例子。在帶有極坐標系的平面上用墨水畫上單位圓，把一個螞蟻固定在上面。它在圓周上爬一圈，認為自己繞過的角是360°，事實正是如此。現在我們把(0,1°)的角形域移去，並把兩邊粘起來，平面變成了一個很鈍的圓錐面，而剩餘的墨跡首尾相接，閉合成圓。讓螞蟻在這個圓上繞一圈，我們看到他繞圓心轉過了360°；但螞蟻以為自己還在平面上，驚訝地發現自己繞原點轉過359°，卻回到了原地。於是，錐面上的幾何就和平面上的不同了：一個三角形不經過或把原點包含於內部，內角和仍為180°；反之，就成了179°（因為錐面是可以展平的，除了原點處，展平前後原點附近的拓撲結構改變了）。但是如果把剛才的錐面扭曲成同胚的其他曲面，第二種情形下的內角和就不是確定的了。我們自己就生活在曲面的地球上，經常需要用到建立於其上的幾何，而拓撲就無能為力了。為此，數學家們把圖形的一些關鍵的幾何性質（局域的或全局的）同拓撲性質聯合起來來描述它，這種數學工具就稱為流形。

將拓撲嚴格化

在四大拓撲中，最基礎的是點集拓撲。事實上，點集拓撲經常被稱為基礎拓撲或者一般拓撲；而最常用的點集拓撲教材的標題，則是《基礎點集拓撲講義》。對於數學家來說，宰複雜的橋環化合物或者伯羅奔尼撒戰爭打到二十二世紀都不重要，重要的是把一切好玩的東西從人們手裡搶走，把它邏輯化公理化，用集合論的語言描述，用代數的方式運算，把它變成只有他自己覺得好玩的東西。拓撲的嚴格定義是這樣的：

（未完待續）

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