貸款了解一下？——等額本息與等額本金的數學原理

最近一直在上研究生的自然辯證法的課程，在這門課程上賀苗老師經常鼓勵大家提出問題、分析問題、解決問題，恰巧作為在西安上了好好好好好好好多年，並且還要上好好好好好好好好多年學的同學，一個相當強的感受就是——西安的房價漲得太太太太太太快了！快到什麼樣的程度呢，隨手從新聞網站上粘了幾篇報道。

嗯...由此引申了一個很有名的段子：

「全款買房的裡面走，按揭的不要堵門口，公積金貸款的請把共享單車從馬路牙子往外挪走一走」

所以...貸款買房的人是吃了售樓處的大米了還是喝了售樓處的農夫山泉了？？

雖然受到鄙視，但我們可以用深厚的數學知識給他們計算一下，從這個現象中提取一個問題，即貸款背後的數學本質，並且把它解決。這樣，以後再次見面的時候你就可以嘴角上揚，微微一笑地說：

「小姐姐，你真的懂貸款嗎？？」

一、什麼是貸款？

你缺錢，銀行有錢。這個時候銀行就說，小夥子，我們有錢啊，來約一下嘛。沒事，不著急，你慢慢還，10年不行20年嘛。把這麼多錢借給你，你還完本金的時候再稍微付點利息就好了。借你十幾年，就收那麼點利息，平均到每年賺不了多少的，多良心！（此段是個人杜撰，沒有任何可靠的文獻依據，較真的同學就當看個樂子就好）。

貸款簡而言之，就是從銀行借本金，約定還款年限，再根據相應的利率和還款的方式償還本息的一種行為。

敲黑板，這裡有幾個參數很重要：

（1）本金

（2）還款年限

（3）利率

（4）還款方式

本文就是基於以上參數（好像也只有這幾個參數）進行數學分析的。

至於如何申請貸款，是公積金貸款和商業貸款有什麼區別，這些問題請移步至相關鏈接

a.如何申請貸款

https://www.zhihu.com/question/21367805

b.公積金貸款與商貸區別

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26804562

二、貸款的還款方式

相信每個貸過款的人都聽說過，選擇還款貸款的方式分為兩種，第一種是等額本息，第二種是等額本金。

首先明確一個概念，償還給銀行的月供包含兩個部分。第一個部分是直接償還當月的利息，第二個部分才是用於扣除你欠銀行的本金。

一般大家都會聽說，等額本息就是每個月還的錢是固定的，最終要付的利息會稍微多一些。而等額本金是每個月償還的本金是固定的，但剛開始的那段時間償還的利息會很多，還款壓力比較大。等再過一段時間，也就是到了還款的後期，償還的利息慢慢就減少了。

在這裡，為了給大家有一個更明確的認識，通過兩張表解釋一下。

表1— 等額本息還款表

（註：此表只是為了演示講解使用，因此選擇1年，也就是12期。貸款利率選擇4.90%，實際的利率可能和此處有出入）

看到一堆數字是不是有點頭皮發麻，別急，帶你慢慢看一下這個表是怎麼計算出來的（用Excel就能很方便得計算）

（1）月供金額怎麼計算

這個問題是需要在下一個章節探討的，此處就認為它是一個已知量。對於上述情況，每個月的月供就是855.62元。

（2）償還的利息、本金及剩餘本金怎麼計算

這裡為什麼先說利息呢，因為在等額本息的方式裡面，你償還的月供首先是要償付利息，然後剩餘的部分才是償還你的本金。

首先來一下貸款的一些參數。本金是10000元，年利率是4.90%。由於貸款是按月還款的，因此計息、還本金也是以月份為單位，在計算的時候用的也就是月利率。將年利率4.90%除以12，就得到了月利率0.40833%

接下來來看一下表格的第一行

鞏固一下，再看看錶格的第二行，後面的所有行就都會計算啦

因此，在等額本息的還款方式裡面：

每個月的月供都是固定的

每個月償還的利息是用你還欠銀行的本金（即剩餘本金）乘以月利率

每個月償還的本金是用你的月供減去你的償還利息

剩餘本金是你上個月的剩餘本金減去這個月的償還本金！

因此可以一步一步往下推，一直到最後一期的啦！

接下來來看等額本金的償還方式！

表2 等額本金還款表

有了前面的知識，算這個就相當容易了。

還是以第一行為例

等額本金的還款較為簡單，每個月償還的本金都是固定值（本金/期數）

每個月償還的利息是上月的剩餘本金乘以月利率

月供金額是償還的本金與償還的利息之和

剩餘本金是從貸款總額開始，每個月以固定的值來遞減。

小結一下：

等額本息是固定月供金額，然後通過上個月的剩餘本金計算當月的利息，將月供金額減去利息後，就是償還的本金部分。即固定月供，計算利息，剩下的就是本金。

而等額本金方式里，固定的是每個月的償還本金，然後根據上個月的剩餘本金計算利息，將償還的本金加上利息就是月供。即固定償還本金，計算利息，把兩個加在一起就是每個月的月供。

三、數學探究

如果說這只是一篇簡單的科普文，介紹兩種貸款還款方式的區別，到剛剛的那個部分為止，這篇推送就應該結束了。

但是！

作為新時代的西北某XXX高校的研究生，這麼寫顯得好像有點不具有說服力，而且在一些很實際的問題上，單純得能看懂還款表到能進行科學的分析還是有一些差距，比如：

（1）以20年的貸款，基準利率為例。公積金貸款（利率3.25%）和商業貸款（利率4.90%）對個人能有多大的差別？

（2）如果利率上調，對個人的還款壓力能帶來多大的變化？

（3）還貸完成後最終的總的支付利息占原始貸款本金的多少？

（4）等額本息和等額本金還款方式哪種更適合自己？

當然，現在網上有很多的貸款計算器，你輸入金額、期數和利率，它都能自動給你計算出你的還款表，總利息。

如果你已經確定了要貸多少錢，貸多少期，當然直接看看人家計算器算出的結果就行。

但是如果你想探究一下，貸50萬，貸60萬，貸70萬的差別，以及選擇哪種還款方式的時候，難道還通過計算器算完之後把每種情況的還款表圖片列印下來，那麼多頁然後一行一行得對比哦？

也就是說，如果想探究某些量的變化對你的貸款的影響，得到一個精準的數學公式是相當重要的。

同時，我在網上搜索這個問題的時候，好像並沒有看到一個很明確的計算說明，基本大部分都是從定性得角度來分析比較。

因此，在本次推送中，兩種還款方式的數學計算公式將被著重介紹。

3.1 符號的定義

3.2 等額本息方式的數學推導

要推導等額本息方式的數學公式，從前面的描述中可以看到，首先要知道的就是固定的月供，知道這些之後才能順勢求出其他的量。

同時，比如貸20年（240）期，想知道第220期的數據，還得把前219期都算完才能得到第220期的，這樣顯然效率不高。

所以有沒有一個公式，能定量描述每個月的情況呢？

答案是：有的！

因為在等額本息方式裡面，利息、本金和月供之間的耦合關係不是簡單的線性，不容易直接看出公式，所以採用數學歸納法來推導

3.2 等額本金方式的數學推導

4、後續分析

4.1 總利息占貸款總額的比例（本小節分析採用等額本息）

因為等額本息是最常用的方式，本小節以此為基礎進行分析

這個結果表明，貸款的總利息率（總利息與原始貸款本金的比例）只與兩個因素有關，即貸款的期數和利率。

以年利率4.90%為例，探究不同還款周期（1年到30年）對總的利息率的影響。從下圖可以清楚得看到，隨著還款的周期增加，總的利息率幾乎是線性增長的（為了比較，將公積金貸款利率3.25%也放了進來）：

貸款1年，總的利率是0.0267

貸款10年，總的利率是0.2669

貸款20年，總的利率是0.5707

貸款30年，總的利率是0.9109

考慮到目前基本的首付比例是30%，貸款占房屋總價的70%。

貸款10年，總利息占房屋總價的比例是0.18683

貸款20年，總利息占房屋總價的比例是0.39949

貸款30年，總利息占房屋總價的比例是0.63763

也就是說：

在4.90%的商業貸款利率下，以130平米的房屋為例：

貸款20年，把你家的52平米多送給了銀行

貸款30年，把你家的82.9平米多送給了銀行。

至於劃不划算，每個人都有自己的想法。但是現在餘額寶無腦理財的年收益率都有3.8960%了......而且即使不划算，不貸又能怎麼樣呢？

所以大家可以把剛剛那個公式記在手機上，準備貸款的時候算一算。

但是如果可以公積金貸款的話，情況就不同啦。看看上面那個圖就能看出來，在最長的30年年限下，公積金貸款的利息也幾乎只有商業貸款（4.9%的一半），只佔貸款本金的56.67%。

可是，不管是哪種貸款，結論就是延長貸款年限會顯著提高你要支付的利息，具體的關係可以參照上面的圖。

剛剛是固定了利率，討論期數對總利息的影響。現在討論一下利率的變化對總利息的影響。

以公積金貸款的年利率3.25%為起始點，以基準利率的1.2倍的年利率5.88%為終點。這裡分別以貸款20年和貸款30年做對比圖。

從圖像中也可以比較清楚得看到，貸款20年和30年的差異是挺大的（前一個圖已經說明了）。同時，即使選擇同一個貸款年限，公積金貸款（3.25%）和1.2倍的商業貸款（5.88%）也有天壤之別。且隨著年利率的升高，總利率也隨之幾乎線性增高。如果年利率升高1%，總利率會近似提高貸款本金的13%（20年）和20%（30年）。

在貸款20年的情況下，公積金貸款的總利率是36.13%，1.2倍商貸的總利率是70.29%，1.2倍商貸的利息幾乎是公積金貸款的2倍了。

在貸款30年的情況下，公積金貸款的總利率是56.67%，1.2倍商貸的總利率是113.07%。

你沒看錯，商貸1.2倍30年下來，你的利息比你的本金還要多13.07%！

所以不算不知道，這麼一算門道還真不少。公積金貸款絕對良心，而且跟商業貸款的差值都不在一個數量級上。

4.2 等額本息和等額本金的差別

（1）首先從總利息的角度分析，二者的區別（也是最關切的問題）

則二者的對比圖像為（商貸利率設為4.90%，公積金利率為3.25%）：

從圖中可以看到，一個明顯的趨勢是 等額本息總利率 > 等額本金總利率

且隨著貸款年限的增長，它們的差值也愈發明顯。

商貸30年，使用等額本息的方式，要比等額本金的方式多花貸款本金的17.36%。好在使用公積金貸款的話，使用等額本息的方式比等額本金的方式，只多花貸款本金的7.8%。

敲黑板，等額本息的還款方式比等額本金的還款方式確實要多點利息

但是為什麼這種方式還是最普遍的方式呢？

（2）從月還款額分析二者的差別

通過之前的計算，已經得出等額本息和等額本金兩種方式每個月分別的月供，這裡再貼出來讓大家看一下。

在此，首先以20年的商業貸款100萬為例（利率4.90%），比較每個月的還款額差別。

在整個貸款的過程中（20年，240個月），前102個月等額本金的月供都比等額本息的月供要多，而且最開始的那幾個月多的還不止一點。而等到102個月之後，等額本金的月供開始慢慢小於等額本息了。等到最後的那幾個月，等額本金的還款壓力就很小了。

為了更清楚得展示這個差異，將二者的差值作圖。藍線代表商貸情況下每月等額本金比等額本息要多付的錢，橙色的線則代表公積金貸的情況。

在20年商貸的情況下，等額本息的月供是6544元，第一個月等額本金的還款方式比等額本息要多付1705元，以後每個月這個差值會遞減17.01元。等額本息的月供只是6544，若果用等額本金，這多出來的1700多塊錢就佔6544的26%左右了，這個比例還是不小的。

在20年公積金貸款的情況下，等額本息的月供是5672元，第一個月等額本金的還款方式比等額本息要多付1203元，以後每個月這個差值會遞減11.28元。等額本息的月供只是5672，若果用等額本金，這多出來的1203塊錢也佔5672的21%左右了，這個比例也還是不小的。

況且，等額本金方式每個月比上個月減少的那十幾二十塊錢，在最開始的那幾年真的微乎其微。。。吃一頓飯就沒了。

再從投資的角度分析一下

如果用商業貸款20年，借100萬的本金，採用等額本金的方式比等額本息的方式會減少78624.05元，平均下來每個月節省327.60元。

如果用公積金貸20年，借100萬的本金，採用等額本金的方式比等額本息的方式會減少34915.66元，平均下來每個月節省145.48元。

但是為了取得這些節約的錢，你的20年中的前102個月（大約9年多）每年都會多付一筆錢，且前102個月，商貸情況下你使用等額本金的方式比等額本息的方式多付的錢的總和為：86328.53元。直到這之後，等額本金的月供開始慢慢微小於等額本息（你想嘛，每個月才減少十幾二十塊），再過了好一陣等額本金的月供才顯著小於等額本息。經過計算，等到第202個月的時候，等額本金的方式和等額本息的方式所償還的總數才相等。等到第202個月以後到240個月，等額本金比等額本息的方式節約的錢才真正顯現出來。

下圖，藍線代表商貸，紅線代表公積金貸款。縱坐標（單位萬元）表示到該月為止等額本金比等額本息方式多付出的錢。等到202個月（商貸）和213個月（公積金貸）之後，這個多付出的錢才開始為負值。

按照正常的投資回報率，每年最最基本的理財的收益也能有5%到6%，之前202個月多付出的錢如果拿來做投資，在接近16年的時間內是有可能把這筆錢省下來了。

而且在這個過程中人是在升值的，往往最困難的時候就是剛貸款剛還貸的時候，大多數人都是拆東牆補西牆。而等到這個時期過了十多年之後，每月月供的這筆錢對家庭來說已經不算很重的開銷了。

但是，任何事情也都是要分情況的。

如果家庭的收入變化不大，也沒有理財投資的習慣，與其把剩餘的錢放在銀行活期存著，還不如多還一些放到房貸裡面，以最快的速度還完你的本金。

5、總結

這篇推送基於等額本息和等額本金的概念，進行了相關的公式推導。看完這篇推送你應該具備以下知識：

（1）等額本息和等額本金的區別

（2）等額本息和等額本金的總月供、月償本金、月償利息和剩餘本金的計算公式

（3）貸款期限和貸款利率對最常用的等額本息方式的還款總利息的影響

（4）等額本息和等額本金還款方式的比較（月供的金額差異，前多少個月等額本金的方式的月供都比等額本息方式多，多少個月之後等額本金支付的利息總額才和等額本息支付的利息總額相等）

後記：

花了幾乎一整天的時間在敲字和作圖，沒有做任何科研，但這個過程是快樂的。

希望所有看到這篇推送的小夥伴都能有所收穫

The End