麻省理工線性代數筆記（二）

05-15

第二講主要內容：

1. 高斯消元法求解下面方程組

第一步：假設x,y,z滿足第一個方程，然後用該方程乘以某個數去消除第二個及第三個方程中的x；

本例中是第一個方程乘以-3加到第二個方程中，因為第三個方程本來就沒有x項，不變，因此最終方程組變成：

第二步：第二個方程不動，第二個方程乘以-2加到第三個方程中，得到以下方程組：

第三步，Back substitution（後向回代）

肯定是先算第三個方程，得到z；然後把z的值回代到第二個方程，得到y值；最後把y,z值回代到第一個方程，從而得到x值。至此我們已用高斯消元法得到了方程組的解。

2. 用矩陣來表示高斯消元法過程

把方程組右邊的向量放到矩陣豎線後面，稱為增廣矩陣。

反向回代簡單，計算機很快能做完，我們目前主要研究消元之後的矩陣。

其實大家可以看到，高斯消元法一直在做初等行變換！

首先，主元（pivot）不能為0，有一種情況就是0佔據了主元的位置，此時需要做行交換，找到主元不為0的行交換過來（還是在做初等行變換）。

其次，若已經找不到不為0的主元了，也就是不能通過行變換來得到不為0的主元了，比如高斯消元後得到下面的矩陣：

僅有一個主元1,其餘主元的位置均為0，此時高斯消元法失效，方程組可能有解，可能無解（此例無解），需要考察方程組右邊的向量情況（後面會涉及）。

3. Elimination Matrices（消元矩陣）

回憶上面消元的過程，第一個方程乘以-3加到第二個方程中，寫成相當於矩陣左乘一個消元矩陣：

提示：左乘是進行行變換，右乘是列變換！

我們把此消元矩陣記為E21，因為消掉的是2行1列上面的元素。以此類推，需要在原矩陣左乘一系列的消元矩陣，得到最終的上三角形式，這個例子是再左乘一個E32。

將這些消元矩陣乘在一起：

消元矩陣是下三角，乘積也是下三角，即得到右側完美等式。

但是還是有一點小瑕疵，剛才提到如果主元位置上有0，可能需要行交換，行交換矩陣稱為置換矩陣（Permutation）。

若想交換矩陣的第一行和第二行，左乘置換矩陣（通過單位矩陣交換相應行即可）：

也就是說上面提到的完美等式，少數情況需要左乘一些置換矩陣，但對於計算機來講並不是什麼大問題。

4. 逆矩陣

把消元矩陣

拿過來，它做的事情是把第二行加上第一行乘以-3，反向操作是第二行加上第一行乘以3，相當於沒加沒減。

這裡引出了逆矩陣的定義，先感性認識一下。

本節課內容結束。