數字信號處理筆記2DFT

DFT

FS FT DFS DTFT DFT FFT

?傅里 葉 級 數(FS)：連 續 時間 , 離 散 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 。

?連續 傅 里 葉 變 換(FT)：連 續 時間 , 連 續 頻 率 的 傅 里 葉 變 換 。

?時域 連 續 函 數造成頻域是非周期的譜 , 而是時域的非周期造成頻域是連續的譜 .

時域的離散造成頻域的周期延拓,而時域的非周期對應於頻域的連續

周期性時間信號可以產生頻譜是離散的

離散時間信號可以產生頻譜是周期性的

?序列 的 傅 里 葉 變 換(DTFT):離 散 時間 , 連 續 頻 率 的 傅 里 葉 變 換.

?離散 傅 里 葉 變 換(DFT):離 散 時間 , 離 散 頻 率 的 傅 里 葉 變 換

離散付里葉級數(DFS)

由非周期連續時間信號推出DFS

可以由抽樣Z變換來解析DFS，它的許多性質與Z變換性質類似。

它們與Z變換主要區別為：

(1) 與 兩者具有周期性，與Z變換不同。

(2)DFS在時域和頻域之間具有嚴格的對偶關係。

它們主要性質分為：

線性，序列移位(循環移位)、調製性、周期卷積和

在 離 散 傅 里 葉 變 換 關 系 中 , 有 限 長 序 列 都 作 為 周 期 序 列 的 一 個 周 期 來 表 示 , 都 隱 含 有 周 期 性 意 義 .

DFT 涉及的基本概念

1. 主 值(主值區間、序列 )

2. 移 位(線性移位 、圓周)?線 性 移 位：序 列 沿 坐 標 軸 的 平 移 .

?圓周移位：將 有 限 長 序 列 x(n)以 長 度N為 周期, 延 拓 為 周 期 序 列, 並 加 以 線 性 移 位 後, 再 取 它 的 主 值 區 間 上 的 序 列 值, m點 圓 周移 位 記 作:

?其中((...))N表 示 N點 周 期延 拓.

3. 卷 積(線性卷積 、圓周)

4. 對 稱(序列的對稱性、分量 )

?(a)奇 對稱(序 列) 和 偶 對 稱(序 列)

?稱x(n)與-x(-n)互為奇對稱。

?滿足x0(n)=-x0(-n)的序列x0(n)稱為奇對稱序列。

?稱x(n)與 x(-n)互 為 偶對 稱 ;

?滿足xe(n)=xe(-n) 的 序 列 xe(n)稱 為 偶對 稱 序 列

?(b)圓 周 奇對 稱(序 列) 和 圓 周 偶 對 稱(序 列)

?長

長 序 列 x(n)

?長度 為 N的 有 限長 序 列x0(n), 若 滿 足 x0(n)=-x0((-n))NRN(n), 則x0(n) 是 圓 周奇 對 稱 序 列.

?長度 為 N的 有 限長 序 列 x(n)與x((-n)NRN(n)互 為 圓 周 偶 對 稱.

?長度 為 N的 有 限長 序 列 xe(n), ,若 滿 足 xe(n)=-xe((-n))NRN(n)則 是 圓 周 偶 對 稱 序 列.

?(c)共 軛 對稱(序列) 和 共 軛 反 對 稱 (序 列)

?序

軛 對 稱.

?共軛 對 稱 序 列 是 滿 足xe(n)=x*e(-n) 的 序 列 xe(n), 對 於 實 序 列 來 說, 這 一 條 件 變成 xe(n)=xe(-n), 即 為 偶 對 稱 序 列.

?序列x(n)與-x*(-n)互 為 共 軛 反 對 稱.

?共軛 反 對 稱 序 列 是 滿 足xe(n)=-x*o(-n)的 序 列 , 對 於 實 序 列 來 說 , 即 為 xo(n)=xo(-n)奇 對 稱 序 列.

?(d)圓 周 共軛 對 稱(序列) 和 圓 周 共 軛 反 對 稱 (序 列)

?N點 有 限長 序 列 x(n)與x*((-n)NRN(n) 互 為 圓 周 共 軛 對 稱.

?圓周 共 軛 對 稱 序 列 是 滿 足 xep(n) =xep*((-n)NRN(n)的 序列 即 xep(n)的 模是圓 周 偶 對 稱, 輻 角是 圓 周 奇 對 稱 (或 說 實 部 圓 周 偶對 稱, 虛 部 圓 周 奇 對 稱). 即把xep(n)成分布在N等分的圓上,在 n= 0 的左半圓與右半圓上, 序列是共軛對稱的。

5. 相 關(線性相關 、圓周)

DFT性質

（1）線性

（2）時間 移 位

（3）頻率 移 位

（4）圓周 卷 積 定 理

?線卷積：反折、平移、相乘、積分（或相加）

?圓卷積：反折、周期化、平移、相乘、相加

（5）圓周 相 關 定 理

（6) 對 稱 性 質

(7) DFT形式的帕賽瓦爾定理能量計算公式

(8)DFT 的 奇,偶, 虛, 實 關 系

?時 域 x(n)取 共 軛, 對 應 於 頻域 X(k) 取圓 周 共 軛 對 稱.

?若(n)本 身 是實 序 列, 對 應 於 頻 域 X(k) 就 是 圓 周 共 軛 對 稱 序 列 ; 反 之 亦 然 .

?時域 x(n) 取 圓 周 偶 對 稱, 對 應 於 頻 域 X(k) 也 取 圓 周 偶 對 稱.

?頻 域 X(k)取 共 軛, 對 應 於 時 域 x(n)取 圓 周 共 軛 對 稱.

?時域 x(n) 取 實部, 對 應 頻 域 取 X(k)的 圓 周共 軛 對 稱 分 量.

?時域 x(n) 取 虛 部並 加 權 j, 對 應 頻 域 取 X(k) 的 圓 周共 軛 反 對 稱 分 量.

Z變換之關係

頻率抽樣理論

採用DFT逼近連續時間信號的傅里葉變換（級數）

?設:對連續非周期信號進行時域抽樣，抽樣間隔為 T(時域);對其連續非周期性的頻譜函數進行頻域抽樣,頻域抽樣周期為F(頻域).

?又因時域抽樣，頻域必然周期延拓；且延拓周期為時域抽樣的頻率值,即頻域周期fs= 1/ T;

?從頻域抽樣理論知識可知：頻域抽樣後對應時域按頻域抽樣間隔的倒數周期延拓,即 Tp= 1/F.

?對限長的信號計算機是不能處理的,必須對時域與頻域做截斷,若時域取N點,則頻域至少也要取N點.(參見頻域抽樣不失真條件).

?用DFT逼 近 連續 非 周 期 信 號 的 傅 里 葉 變 換 過 程 中 除 了 對 幅 度 的 線 性 加 權 外, 由 於 用 到 了 抽 樣 與 截 斷 的 方 法, 因 此 也 會 帶 來 一 些 可 能 產 生 的 問 題 (如 :

混 疊 效 應

頻 譜 泄 漏

柵 欄 效 應

減小 柵 欄 效 應 的 一 個 方 法 是 在 所 取 數 據 的 末 端 加 一 些 零 值 點, 使 一 個 周 期 內點 數 增 加, 但 是 不 改 變 原 有 的 記 錄 數 據