等價無窮小為什麼不能在加減式子中使用

05-15

聲明：本文為原創文章，首發於微信公眾號「湖心亭記」

在學習等價無窮小替換的時候，老師會給我們講這個替換隻能用在乘除式子中，而規定在加減式子中不能使用。這是為什麼呢？可能有的老師給大家講解了原理，但是有的卻沒講。今天我們一起來探討下這個問題。

先看一個具體的例子，如下

例1： $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x - an x}}{{{x^3}}} = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{0 - 0}}{{{x^3}}} = 0]$

例2： $[egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x - (1 - cos x)}}{x} = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{x - frac{1}{2}{x^2}}}{x}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} 1 - frac{1}{2}x = 1 end{array}]$

在例1和例2中，分子上都是減法運算，而且都使用了等價無窮小替換。實際上例1的正確結果為 $[frac{{ - 1}}{2}]$ ，例2的正確結果就為1。也就是說同樣是減法運算，例1做等價無窮小替換就是錯誤的，而例2做等價無窮小替換就是正確的。那麼這其中的奧秘到底是什麼呢？

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這其中的原理跟他們的泰勒展開式有關。他們的泰勒展開如下:

$[cos x = 1 - frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^4}}}{{4!}} + cdots ]$

$[sin x = x - frac{{{x^3}}}{6} + frac{{{x^5}}}{{5!}} + cdots ]$

$[ an x = x + frac{{{x^3}}}{3} + frac{{2{x^5}}}{{15}} + cdots ]$

同時也可以推出1-cosx的泰勒展開式子為：

$[1 - cos x = frac{{{x^2}}}{2} - frac{{{x^4}}}{{4!}} + cdots ]$

那麼我們可以得到以下幾個結論：

$[sin x = x + o(x)]$

$[sin x = x - frac{{{x^3}}}{6} + o({x^3})]$

$[ an x = x + o(x)]$

$[ an x = x + frac{{{x^3}}}{3} + o({x^3})]$

$[1 - cos x = frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2})]$

那麼在例1中，如果使用另一種等價替換，也就是如下所示：

$[egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x - an x}}{{{x^3}}} = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{(x - frac{{{x^3}}}{6} + {o_1}({x^3})) - (x + frac{{{x^3}}}{3} + {o_2}({x^3}))}}{{{x^3}}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{ - frac{1}{2}{x^3} + {o_1}({x^3}) - {o_2}({x^3})}}{{{x^3}}}\ = - frac{1}{2} end{array}]$

這就能夠得到正確結果。這就是因為一開始我們在例1中採用了 $[sin x = x + o(x)]$ 跟 $[ an x = x + o(x)]$ 這兩個替換，而把他們泰勒展開式中關於x^3的項給自動省略了。但是這是不能省略的，因為分母的階數就為3，分子中關於x3的項與之相比會產生不為0的量。因此你忽略了分子泰勒展開式中關於x^3的項就相當於忽略了這個不為0的量，那麼得到的結果誤差就必定會很大很大，自然就得不到正確的結果了。

同樣的道理，大家應該能夠自己想清楚為什麼在例2中就能夠得到正確的結果了吧。因為例2中分母的階數為1，也就是x的一次方。而 $[sin x = x + o(x)]$ 與 $[1 - cos x = frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2})]$ 這兩個展開足夠應付1這個階數了，你後面省略的小歐的部分（就是o(x)跟o(x^2)）跟分母的比值的極限也是為0的，因此你做了替換從而忽略了這個0，也就是很正常的，並不會有什麼影響，自然就能得到正確的結果了。

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其實大家可以看到，所謂的等價無窮小替換，本質上是泰勒展開式的一種特殊的形式，他只保留了展開式子的第一項而已。所以有時候精度不是很准，有時候在做減法時會有很大的誤差。這就是為什麼我們乾脆直接規定等價無窮小替換不能在加減法中使用。

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最後做個小結：

（1） 等價無窮小替換隻能在乘除式子中使用，而不能在加減式子中使用。

（2） 在求極限做泰勒展開式時，如果A/B型，一定要做到A中的每一項的泰勒展開的階數都與B的階數相同，或者至少比B高一階（因為有時候確實做不到相同階）。

再做一些說明吧。之所以等價無窮小替換能在乘除式中使用，是因為乘除運算不會導致項的抵消，而加減運算會導致項的抵消與合併。

看一道泰勒展開求極限的例題。

例3： $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x}(x - 2) + x + 2}}{{{{sin }^3}x}}]$

這道題如果想用泰勒展開來做，怎麼做？分母直接採用等價無窮小替換為x的三次方，階數為3。而分子中e^x可以泰勒展開，因為分母的階數為3，所以e^x必須展開到3階。也就是 $[{e^x} = 1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^3}}}{6} + o({x^3})]$ 。具體做法如下：

$[egin{array}{l} mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x}(x - 2) + x + 2}}{{{{sin }^3}x}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{left( {1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + frac{{{x^3}}}{6} + oleft( {{x^3}} ight)} ight)(x - 2) + x + 2}}{{{x^3}}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{frac{1}{2}{x^3} - frac{1}{3}{x^3}}}{{{x^3}}}\ = frac{1}{6} end{array}]$

所以我們看到，泰勒展開本質上是將複雜的式子都轉化為多項式的乘除法來運算，因為多項式的運算是非常簡單的。