軟體無線電理論——採樣（一）

05-15

之前在該專欄寫過一篇文章，沒想到有挺多人關注，說實話有點出乎我的意料，還有人私信我想請教有關軟體無線電方面的知識。筆者感覺上一篇文章可能比較注重實戰而忽略了實現其功能的基本理論，所以這篇文章以及後面的幾篇文章會更注重理論一些，中間可能會穿插著幾次項目實戰，筆者也是在學習過程中，望與諸君分享其中樂趣，因自身水平有限，文中出現錯誤在所難免，願廣大知友批評指正！

筆者假設各位具備通信理論的基本知識，比如採樣定理，傅里葉變換等，所以一些基本理論在本文中不會出現證明。

帶通採樣定理

Nyquist採樣定理（筆者習慣稱其為低通採樣定理）告訴了我們頻譜分布在 $(0,f_{H})$ 上基帶信號的採樣問題，如果是頻譜在 $(f_{L},f_{H})$ 範圍內的帶通信號，那麼應該如何進行採樣？如果按照低通採樣，那使採樣頻率 $f_{s} geq 2f_{H}$ 即可防止頻譜混疊，但軟體無線電的射頻前端因通用性會導致頻帶較寬，比如一台頻帶在10 MHz-3000 MHz的USRP，如果避免頻譜混疊則採樣頻率至少為6 GHz，這顯然是不現實的。有兩種辦法可以解決這個問題，一種是進行下變頻至零中頻再進行低通採樣，該方案我們會在後文中提到，另一種就是直接進行帶通採樣。

帶通採樣定理：設一個帶通信號，其頻帶限制在 $(f_{L},f_{H})$ 內，如果其採樣速率滿足 $f_{s}=frac{2(f_{L}+f_{H})}{2n+1}$ ，其中 $n$ 為能滿足 $f_{s}geq2(f_{H}-f_{L})$ 的最大正整數，則用 $f_{s}$ 進行周期性採樣能準確地確定原信號。

如果用信號中心頻率 $f_{0}$ 和帶寬 $B$ 來描述的話，則 $f_{0}=frac{2n+1}{4}f_{s}$ , $n$ 取滿足 $f_{s} geq 2B$ 的最大正整數。注意，若 $f_{0}=frac{f_{H}}{2}$ , $f_{H}=B$ , $n=0$ 則該公式即為低通採樣定理。由此可見，如果想以最低採樣率 $f_{s}=2B$ 進行採樣，帶通信號中心頻率需滿足 $f_{0}=frac{2n+1}{2}B$ ，所以說任何滿足上述條件的帶通信號，都可以通2倍帶寬的採樣率進行採樣，如下圖所示。

值得注意的是，帶通採樣定理適用的前提條件是：只允許一個頻帶出現帶通信號，其餘頻段不能出現任何信號，否則勢必造成頻譜混疊。如上圖，若對 $X_{2}(f)$ 帶通採樣則頻譜上只能存在陰影部分頻帶。可以採用前端加跟蹤濾波器的方式解決，即在採樣前加入中心頻率為 $f_{0}$ 的帶通濾波器，濾出有用的信號，再進行帶通採樣。因該濾波器功能是為了避免頻譜混疊，所以也稱其為抗混疊濾波器，過程如下圖所示。

濾波器過渡帶混疊的帶通採樣

我們希望抗混疊濾波器的頻響是理想的矩形窗，但實際上無法實現這樣的濾波器，因為在頻譜上越陡峭，在時域上就越趨近於無限長響應，反之在時域上越陡峭，頻域上的頻帶也趨於無限長。所以實際的濾波器是存在截止頻率和過渡帶寬的，頻響如下圖所示，圖(a)為理想濾波器，圖(b)為工程上可實現的矩形係數 $r=B_{r}/B$ 的梯形濾波器。

無論是Nyquist低通採樣，還是我們之前提到的帶通採樣，其採樣頻率需滿足 $f_{s} geq 2B$ ，這裡的 $B$ 是指帶通信號的帶寬，即理想矩形濾波器的帶寬，但實際濾波器存在過渡帶，採樣頻率則需滿足 $f_{s} geq 2B_{r}$ ，而並不是信號的實際帶寬 $B$ ，所以勢必會造成採樣率增加，這是我們不希望看到的。

而在實際上設計抗混疊濾波器時，往往過渡帶並不包括我們所需要的信號，所以過渡帶是可以允許混疊的，如圖(c)所示，可以由矩形係數計算出過渡帶寬 $B^{}=frac{r-1}{2}B$ ，則採樣速率必須滿足 $frac{f_{s}}{2} geq B+B^{}$ ，即 $f_{s} geq (r+1)B$ 。

過渡帶混疊的帶通採樣定理：任何一個中心頻率為 $f_{0}$ ，帶寬為 $B$ 的帶通信號，如果同時滿足 $f_{0}=frac{2n+1}{4}f_{s}$ ， $f_{s} geq (r+1)B$ ，其中 $n$ 為非負整數， $r$ 為抗混疊濾波器的矩形係數，那麼即可通過採樣信號來表示原信號。

事實上，考慮濾波器過渡帶混疊與未考慮濾波器過渡帶混疊之後的相比，採樣速率降低的倍數為 $G=frac{2B_{r}}{(r+1)B}=frac{2r}{r+1}$ ，若 $r=3$ ，則 $G=1.5$ ，說明採樣率的降低很明顯。

正交低通採樣

正交採樣是軟體無線電實現採樣比較多的方式，其原理可見下面的框圖。接收信號由前置低雜訊放大器放大後進行第一次混頻至中頻，帶通濾波後經AGC電路處理，然後由正交的第二混頻器混頻至兩個正交的基帶（零中頻）信號 $I(t),Q(t)$ ，最後由ADC採樣得到數字信號。

經過第一次混頻後的信號頻譜圖如圖(a)所示，第二次混頻後對該信號進行低通通濾波濾除高頻分量，得到的就是零中頻的兩個基帶信號，即： $I(t)=[x(t)cos(omega t)]*h_{LP}(t)$ ， $Q(t)$ 同理可得。因為兩個實基帶信號均是通過兩譜相加或相減得到的，故最後均變為正負頻率對稱的實信號頻譜了，其帶寬為 $B/2$ ，所以對 $I(t),Q(t)$ 進行採樣則採樣速率設為B即可，即正交採樣時採樣率可以降低為非正交採樣的一半，但需要兩片ADC。